Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı - 2014
1
Bir üçgenin kenar uzunlukları olan tüm $a, b, c$ gerçel sayıları için, $a^2 + bct$, $b^2 + cat$, $c^2 + abt$ nin de bir üçgenin kenar uzunlukları olmasını sağlayan bütün $t$ gerçel sayılarını belirleyiniz.
2
Bir $ABC$ üçgeninin sırasıyla $AB$ ve $AC$ kenarları üzerinde bulunan ve köşelerden farklı $D$ ve $E$ noktaları, $DB = BC = CE$ koşulunu sağlıyor. $CD$ ve $BE$ doğruları $F$ noktasında kesişiyor. $ABC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$, $DEF$ üçgeninin diklik merkezi $H$, ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin $BAC$ yayının orta noktası $M$ olmak üzere, $I$, $H$ ve $M$ noktalarının doğrudaş olduklarını kanıtlayınız.
3
$m$ pozitif tam sayısının pozitif bölenlerinin sayısını $d(m)$ ile, farklı asal bölenlerinin sayısını ise $\omega(m)$ ile gösterelim. $k$ bir pozitif tam sayı olsun. $a + b = n$ koşulunu sağlayan tüm $a, b$ pozitif tam sayıları için, $d(n)$ nin $d(a^2 +b^2)$ yi bölmemesini sağlayan ve $\omega(n) = k$ olan sonsuz çoklukta $n$ pozitif tam sayısının bulunduğunu kanıtlayınız.
4
$0 < i < n$, $0 < j < n$, $i \neq j$ koşullarını ve $2i + j$ nin $n$ ile bölünmesini sağlayan tüm $i$, $j$ tam sayıları için $x_i < x_j$ olacak biçimde $x_1, x_2, \dots, x_{n−1}$ tam sayılarının bulunmasını olanaklı kılan bütün $n \ge 2$ tam sayılarını belirleyiniz.
5
$n$ pozitif bir tam sayı olsun. Başlangıçta her biri negatif olmayan sayıda taş içeren $n$ kutumuz var. Her hamlede bir kutu seçip, bu kutudan iki taş alıyor ve bu taşların birini atıp, diğerini seçtiğimiz kutu dışında istediğimiz herhangi bir kutuya koyuyoruz. Sıfır sayıda hamle de dahil olmak üzere, sonlu hamle sonucunda hiçbir kutusu boş olmayan bir dağılıma ulaşılabilen başlangıç dağılımlarına çözülebilir diyelim. Çözülebilir olmayan, ama ilave bir taş hangi kutuya eklenirse eklensin çözülebilir bir dağılıma dönüşen tüm başlangıç dağılımlarını belirleyiniz.
6
Tüm x ve y gerçel sayıları için $$f(y^2+2xf(y) + f(x)^2) = (y+f(x))(x+f(y))$$ koşulunu sağlayan bütün $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonlarını belirleyiniz.