Bir $ABC$ üçgeninin $B$ ve $C$ köşelerinden geçen bir çember $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, köşelerden farklı $E$ ve $F$ noktalarında kesiyor. $BF$ doğrusunun $CE$ doğrusunu kestiği nokta $P$ ve $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez kestiği nokta $Q$ olmak üzere; $|FA|=|FC|$ ve $|FP|=|FQ|$ ise, $AP$ ve $BC$ doğrularının birbirine dik olduğunu kanıtlayınız.

$p$ bir asal sayı olmak üzere, $m^3+7p^2=2^n$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n,p)$ pozitif tam sayı üçlülerini belirleyiniz.

$|n|>1$ koşulunu sağlayan bir $n$ tam sayısının en büyük asal bölenini $a(n)$ ile gösterelim. $|n|>1$ ve $P(n)>1$ olan her $n$ tam sayısı için,$$P(n+a(n))=n+a(P(n))$$koşulunu sağlayan tüm tam sayı katsayılı $P(x)$ polinomlarını bulunuz.

$x^2+y^2+z^2\le x+y+z$ koşulunu sağlayan tüm $x,y,z$ pozitif gerçel sayıları için,$$\dfrac{x^2+3}{x^3+1}+\dfrac{y^2+3}{y^3+1}+\dfrac{z^2+3}{z^3+1}\ge6$$olduğunu gösteriniz.

Çevrel çemberi $\omega$ olan bir $ABC$ üçgeninin dış bölgesindeki bir $\omega_A$ çemberi $[BC]$ kenarına $A_1$ noktasında, $\omega$ ya da $A_2$ noktasında teğettir. Benzer biçimde $\omega_B$ ve $\omega_C$ çemberleri için sırasıyla $B_1,B_2$ ve $C_1,C_2$ noktaları tanımlanıyor. $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ doğruları noktadaş ise, $AA_2$, $BB_2$, $CC_2$ doğrularının da noktadaş olduğunu gösteriniz.

$n$ pozitif bir tam sayı olsun. $\{1,2,\ldots,n\}$ kümesinin üç elemanlı altkümeleri olan $A_1, A_2,\ldots,A_k$, her $1\le i<j\le k$ için, $|A_i\cap A_j|=1$ koşulunu sağlıyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.