$1\times7$ şeklindeki bir dikdörtgensel bölge, $1$ tane $1\times1$ ve $6$ tane birbirinden farklı $1\times2$ ölçülerindeki taşlardan istenildiği kadar kullanılarak döşenecektir. Kaç farklı şekilde döşeme işlemi yapılabilir?

Soru: $2\times 3n$ türündeki bir tahta $2n$ tane özdeş $L$-trimino blokla kaplanacaktır. Kaç farklı desen elde edilebilir? (Lokman Gökçe)

Bilgi: $2\times 2$ türündeki bloğun bir köşesinden $1\times 1$ birimkaresinin çıkarılmasıyla elde edilen $L$ biçimli $3$ birimkarelik parçaya $L$-trimino diyoruz.

[1] Kolye Problemi: Çembersel bir halkaya dizilmiş $3$ boncuk ve $n$ farklı renge sahibiz. $3$ boncuk bir eşkenar üçgenin köşelerini oluşturmaktadır. Bu renkler kullanılarak boncuklar birer renkle boyanacaktır. Bazı boncukların renkleri aynı olabilir.

Halkanın merkezi etrafında döndürülmesi sonucu biri diğerinden elde edilen boyamalar özdeş kabul edilmektedir. Kaç farklı boyama deseni yapılabilir?

Bu tür halka boyama problemlerine Kolye Problemi (İng: necklace) denir. $m$ boncuk ve $n$ renk için kolye sayısı $N(m,n)$ ile gösterilir.




[2] Bilezik Problemi: Çembersel bir halkaya dizilmiş $3$ boncuk ve $n$ farklı renge sahibiz. $3$ boncuk bir eşkenar üçgenin köşelerini oluşturmaktadır. Bu renkler kullanılarak boncuklar birer renkle boyanacaktır. Bazı boncukların renkleri aynı olabilir.

Halkanın merkezi etrafında döndürülmesi veya merkezden geçen bir doğruya göre simetrisi sonucu biri diğerinden elde edilen boyamalar özdeş kabul edilmektedir. Kaç farklı boyama deseni yapılabilir?

Bu tür halka boyama problemlerine Bilezik Problemi (İng: bracelet) denir. $m$ boncuk ve $n$ renk için bilezik sayısı $B(m,n)$ ile gösterilir.

$10$ elma, $5$ armut $3$ çocuğa her biri en az $1$ meyve almak koşulu ile kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

$40$ sayı $n$ paralel işlemciyle mümkün olan en kısa sürede toplanmak isteniyor. $n$ en az kaçtır?

Problem (Metin Can Aydemir): "İçerisinde tam olarak $n$ tane asal sayı bulunan ardışık $100$ pozitif tamsayı vardır." önermesinin yanlış olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tamsayısı kaçtır?

Bu soruyu derincesi YouTube kanalında yayınlanan bir sorudan ilham alarak oluşturdum. O videoya da koyduğum linkten ulaşabilirsiniz.

$a_1,a_2,a_3,\dots, a_{26}$ farklı reel sayıları veriliyor. Dizideki yerlerini değiştirmeksizin bu sayılar arasında artan veya azalan sırada en fazla kaç terim seçmeyi garantileriz?

a)3                b)4                   c)5                   d)6                    e)7

Benzer üçgenler aynı sayılmak üzere; açıları derece cinsinden pozitif tam sayı olan tüm farklı üçgenleri düşünelim. Bunlardan rastgele seçilen birinin geniş açılı olma olasılığı nedir?

$\textbf{a)}\  \dfrac 13 \qquad \textbf{b)}\  \dfrac 12 \qquad \textbf{c)}\  \dfrac {2}{3} \qquad \textbf{d)}\  \dfrac {11}{15} \qquad \textbf{e)}\  \text{Hiçbiri} $

Problem: $n\geq 1$ köşeli (noktalı) bir ağaç çizgenin $n-1$ kenarı vardır, kanıtlayınız.


Not: Bağlantılı olup döngü içermeyen çizgelere ağaç denir. Ağaç çizge ile ilgili buraya bakılabilir.

Problem: $k$ farklı renkte boyaya sahibiz. Bir daire $n$ dilime ayrılmış olsun. Ardışık dilimler farklı renkte olacak biçimde $n$ dilim kaç farklı yolla boyanır? (Burada, döndürmeler sonucu bir boyama diğerinden elde edilebilir. Yani $abc$, $bca$, $cab$ gibi dairesel durumlar farklı olarak ele alınacaktır.)

Problem[1999-USAMO]: $n \times n$ dama tahtasına bazı dama taşları aşağıdaki kurallara göre yerleştirilecektir:

$(a)$ Dama taşı içermeyen her kare, dama taşı olan bir kareyle ortak bir kenara sahiptir.

$(b)$ Dama taşları içeren herhangi iki kare çifti verildiğinde; verilen karelerle başlayan ve biten, dama taşları içeren bir kareler dizisi vardır ve bu dizinin her iki ardışık karesi bir ortak kenara sahiptir.

Tahtada en az $\dfrac{n^{2}-2}{3}$ dama taşı olduğunu kanıtlayınız.





Bazı Anekdotlar ve Bilgiler:

$\color{blue}\bullet $ Problem ABD'de lise öğrencilerine sorulmuş olsa da, çözüm yöntemi olarak çizge teorisi içerdiği için lisans düzeyi olarak etiketlemeyi daha uygun gördüm.

$\color{blue}\bullet $ İlk önce klasik kombinatorik yöntemlerle problemi çözmeyi denedim ama genel bir çözüm bulmayı başaramadım. "Çözüm Öncesi Motivasyonu" başlığı altında ilk çözüm girişimlerimi paylaşacağım.

$\color{blue}\bullet $ Matematikte bilmediğim bazı özel konulara uğraşmama sebep olan bazı problemler olmuştur. Temel bir bilgi  sahibi olduğum çizge teorisine daha fazla yüklenmem için beni motive şey de bu problem oldu. Benim için zihinsel açıdan köşe taşı olan sorulardan biridir. Şimdi düşündüm de, benim için köşe taşı olmuş olan bu tür özel problemler için bir liste oluşturmak iyi olabilir. Üzerinde çok düşündüğümüz bir konuyu daha derinlemesine öğrenebiliyoruz. Bunları sunarken de dinleyicilere güzel biçimde anlatabilme fırsatı oluyor. Daha önce yapılmış çözümlerden faydalanarak, problemin titiz bir çözümünü hazırlamaya çalıştım. Biraz daha düşünmek için kendime de süre tanıyacağım ve çözümü bir süre sonra paylaşacağım.



Çözüm Öncesi Motivasyonu:

$n \in \{2, 3 , 4, 5, 6 \}$ durumlarını inceleyelim.
$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ } & \circ   \\ \hline
\text{ } & \circ  \\ \hline
\end{array}
\quad
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\textbf{} & \circ & \text{ } \\ \hline
\end{array}
\quad
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ } & \circ & \circ & \text{ }  \\ \hline
\text{ } & \circ & \circ & \text{ }  \\ \hline
\text{ } & \circ & \circ & \text{ }  \\ \hline
\text{ } & \circ & \circ & \text{ }  \\ \hline
\end{array}
\quad
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\text{ } & \circ & \circ    & \circ & \text{ } \\ \hline
\end{array}
\quad
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \circ    & \circ \\ \hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \text{ } & \circ \\ \hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \text{ } & \circ \\ \hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \text{ } & \circ \\ \hline
\text{ } & \circ & \text{ } & \circ & \text{ } & \circ \\ \hline
\text{ } & \circ & \circ    & \circ & \text{ } & \circ \\ \hline
\end{array}
$

Şimdi de $n$ yi çift/tek sayı yönünden inceleyelim.

$\bullet $ $n=5$ için olan tablodaki durumu genelleştirelim. $n\geq 5$ ve $n$ bir tek sayı ise, en az $ n\cdot \dfrac{n-1}{2} + \left(  \dfrac{n-1}{2} - 1\right) = \dfrac{n^2 - 3}{2}$ tane dama taşı kullanılır.
$\bullet $ $n=6$ için olan tablodaki durumu genelleştirelim. $n\geq 6$ ve $n$ bir çift sayı ise, en az $ n\cdot \dfrac{n}{2} + \left(  \dfrac{n}{2} - 1\right) = \dfrac{n^2 + n - 2}{2}$ dama taşı kullanılır. Bu durumda, $\dfrac{n^2 + n - 2}{2} \geq \dfrac{n^2 - 3}{2} $ olur.

Bunlar sezgisel çizimlerdir. Bağlantılı bir grafik oluşturmamız gerektiğine dikkat edilmelidir. Çizge teorisinin fikirleri kullanılarak kesin bir kanıt yapılabilir. Örneğin, yukarıdaki analizimiz aşağıdaki şekli kapsamamaktadır.

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\circ    & \circ    & \circ    & \circ    & \circ & \text{ } \\ \hline
\circ    & \text{ } & \circ    & \text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\color{red}\bullet    & \text{?} & \text{ } & \text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\text{?} & \color{red}\bullet    & \text{ } & \text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\text{ } & \circ    & \text{ } & \text{ } & \circ & \text{ } \\ \hline
\text{ } & \circ    & \circ    & \circ    & \circ & \text{ } \\ \hline
\end{array}
$$

Öte yandan, çözümümüzü geliştirebiliriz. Kırmızı ile gösterdiğimiz çapraz konumlu damalara dikkat edelim. Yanında soru işareti olan hücreler boştur. Damalarımızın birbiriyle bağlantılı olması gerektiğinden; çapraz konumlu kırmızı dama taşları, düzenlememizde sadece bir kez görünebilir. Yani, minimum sayıda dama taşı kullanarak oluşturduğumuz bir konfigürasyonun farklı kısımlarında çapraz konumlu kırmızı damalar oluşursa, bağlantılılık özelliği kaybedilecektir. Kırmızı damalar, bağlantılı damaların başlangıç ve bitiş noktaları olarak düşünülebilir. Yukarıdaki çizdiğimiz $6\times 6$ türündeki tahtada ekstra damalara ihtiyacımız yok. Minimum sayıda dama taşı kullanıldığında döngü oluşmadığını gözlemliyoruz. Ayrıca, şekilde ağaç çizgesinin oluşutuğunu da gözlemliyoruz.

Bu gözlemler çizge teorisine geçiş yapmamız için yeterince motivasyon sağlıyor.

Lise 1. Aşama için kolay-orta düzeyinde bir olasılık sorusu paylaşalım.


Problem [Lokman GÖKÇE]: Bir eğlence yerindeki her sandalyede bir davetli oturmaktadır. Müzik sesiyle beraber davetliler kalkıyor ve pistte dans ediyor. Müzik bitince davetliler eşit olasılıkla rastgele seçtikleri bir sandalyeye oturuyor. Sandalyeler birer kişiliktir ve ayakta kalan hiçbir davetli yoktur. Kadın davetlilerin danstan önceki sandalyelerine geri oturma olasılığı $\dfrac{1}{210}$ olduğuna göre, erkek davetlilerin sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Soru: $6$ farklı renkte boyaya sahibiz. Bir düzgün dörtyüzlünün ayrıtları bu renklerle boyanacaktır. Her ayrıt farklı bir renkle boyanacaktır.

a. Düzgün dörtyüzlünün döndürülmesi sonucu biri diğerinden elde edilen boyamalar özdeş kabul edileceğine göre,

b. Düzgün dörtyüzlünün döndürülmesi veya bir düzleme göre yansıması sonucu biri diğerinden elde edilen boyamalar özdeş kabul edileceğine göre,

kaç farklı boyama yapılabileceğini bulunuz.

Problem: Bir düzgün $24$-genin köşelerinden üçünü köşe kabul eden üçgenleri düşünelim. Bu üçgenlerden birbiriyle eş olanlar aynı kabul edilirse, farklı üçgenlerin sayısı kaçtır?

$3$ evli çift yuvarlak bir masa etrafında eşler birbirleriyle yan yana olmayacak biçimde kaç farklı şekilde oturabilir?

n tane sarı ve n tane kırmızı top olan bir çuval. Her defa bir top olacak şekilde top çekiyoruz. Ama bunu çuvalda  sadece sarı ya da kırmızı top kalana kadar çekiyoruz. Ve bunun sonucunda çuvalda ortalama olarak ne kadar top kalır (beklenen değer ,E(x))? n göre formülü yazınız.

k adet konveks n-gen bir düzlemi en fazla kaç bölgeye ayırabilir? (Örneğin 2 adet üçgen bir düzlemi en fazla 8 bölgeye ayırabilir.)

$n$ nin hangi değerleri için $3 \times n$ dikdörtgen tahta $L$-trimino (üç birimkareden oluşan $L$ biçimli blok) ve $Z$-tetramino (dört birimkareden oluşan $Z$ biçimli blok) bloklarla kaplanabilir?

20 soruluk, her sorunun 5 şık içerdiği bir sınavda art arda gelen 3 şık aynı olmayacak şekilde kaç farklı cevap anahtarı oluşturulabilir?

Basit gibi duruyor ancak durum hesaplarını tam yapamadım.

Problem [Lokman GÖKÇE]: $60$ kişilik bir sınıftaki öğrencilerin $\%60$ ı matematik sınavında başarılı, $\%45$ i fizik sınavında başarılı, $\%40$ ı  biyoloji sınavında başarılıdır. En az iki dersin sınavından başarılı olanların oranı $\%70$ tir.

(a) Üç dersten de başarılı olan öğrencilerin sayısı en fazla kaç olabilir?
(b) Üç dersten de başarısız olan öğrencilerin sayısı en az kaç olabilir?

Çeşitli yollarla ispatlayabileceğimiz bir kombinatoryal özdeşlik sorusu sunalım. Özdeşliğimiz üç bağımsız değişken içerdiği için, çeşitli özelleştirmelere sahip kuvvetli bir eşitliktir.

Problem: $m + k \geq n \geq k\geq 0$ olacak şekilde $m, n, k$ tam sayıları veriliyor.
$$ \dbinom{n}{k}\dbinom{m}{m}  + \dbinom{n}{k+1}\dbinom{m}{m-1} + \cdots + \dbinom{n}{n}\dbinom{m}{m-n+k} = \dbinom{m+n}{m+k} $$
olduğunu ispatlayınız.

Problem: $A \neq \emptyset $ kümesinin bir $B \neq \emptyset$ altkümesi için $|A| = n$ ve $|B| = m$ dir. $ A = \{ a_1, a_2, \dots a_m, a_{m+1}, \dots , a_n \}$ ve $B = \{ a_1, a_2, \dots , a_m \}$ diyelim. $m \leq k \leq n$ olmak üzere, $A$ kümesinin $k$ elemanlı altkümelerinden kaçı $B$ yi bir altküme olarak içerir?

Ayrıca, $m, k, n \in \mathbb{Z^+}$ ve $m \leq k \leq n$ ise,
$$  \dbinom{n-m}{k-m} = \sum_{r=0}^{m}(-1)^r\dbinom{m}{r}\dbinom{n-r}{k}$$
özdeşliğini ispatlayınız.

Dedektif  her gün aralarında suçlu ve suçun bir tanığı bulunan $80$ kişiden birini veya daha fazlasını ofise davet edebilir ve onlarla dava ile ilgili konuşabilir. Dedektif eğer davet edilenler arasında tanık varsa ancak suçlu yoksa tanığın suçlunun kim olduğunu söyleyeceğini biliyor. Bu yöntemi izleyen dedektif en az kaç günde kesin olarak suçluyu bulabilir?

Düzlemde her bir nokta çifti arasındaki uzaklıklar farklı olacak $n$ nokta veriliyor.
Daha sonra her nokta kendisine en yakın olan noktaya bir doğru parçasıyla bağlanıyor.
Çizilen bu doğru parçalarının sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı $2420$ ise $n$ kaçtır?

Üç boyutlu bir düzlemde $(0,0,0)$ başlangıç noktasından $(0,0,n)$ noktasına gidilmek isteniyor.Her adımda aşağıdaki $9$ hamleden biri yapılabiliyor ancak hiçbir hamlede $(x,y,z)$ koordinatlarında $x,y,z$'den herhangi birinin negatif olmasına izin verilmiyor.Her hamlede, $(a,b,c)$ konumundaki bir noktayı;$$(a-1,b-1,c+1),(a-1,b,c+1),(a-1,b+1,c+1),(a,b-1,c+1),(a,b,c+1),(a,b+1,c+1) ,(a+1,b-1,c+1),(a+1,b,c+1),(a+1,b+1,c+1),$$ noktalarından birine ilerletiyoruz.Buna göre $(0,0,0)$ noktasından $(0,0,n)$ noktasına kaç farklı şekilde gidilebilir?

Teorem: Köşe sayısı $1$ den büyük olan (sonlu) ağaç çizgede derecesi $1$ olan en az iki köşe vardır, ispatlayınız.

Bu teoremi kullanarak elde edilebileceğimiz kolay bir sonuç şudur:

Sonuç: $n+1$ köşeli bir ağacın içinde $n$ köşeli bir ağaç vardır ($n\ge 1$ tam sayı).

$40$ öğrencinin katıldığı bir yaz okulunda en fazla $3$ arkadaşı olan öğrencilere utangaç diyelim. Her öğrencinin en az $2$ tane utangaç arkadaşı varsa, utangaç öğrenci sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

Buradaki problemi çözdükten sonra bazı yeni problemler düşündüm. Bunları paylaşalım:


Problem 1: $n\times n$ türündeki bir tahtanın bir birim karesi çıkarıldıktan sonra geriye kalan kısım $L$-trimino taşlarla kaplanacaktır. $L$-trimino, $2\times 2$ karenin bir birim karesinin çıkarılmasıyla elde edilen $3$ birim karelik şekildir. $3\mid n$ iken $n\times n$ tahtadan çıkarılan birim karenin seçilebileceği kaç farklı durum vardır?


Problem 2: $5\times 5$ türündeki bir tahtanın bir birim karesi çıkarıldıktan sonra geriye kalan kısım $L$-trimino taşlarla kaplanacaktır. $5\times 5$ tahtadan çıkarılan birim karenin seçilebileceği kaç farklı durum vardır?

Elemanları negatif olmayan tam sayılardan oluşan, her bir satırdaki ve her bir sütündaki sıfırdan farklı elemanları birbirinden farklı ve bu elemanların toplamı $7$ olan kaç tane $4\times 4$ matris vardır?

Kaynak: The Art of Mathematics - Take Two, Béla Bollobás, Problem 34. 2022.

Problem: $n$ pozitif tam sayısının ardışık olarak $n$ defa yazılmasıyla oluşturulan $(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,\ldots)$ dizisinin $2023$. terimi kaçtır?

Teorem: $n$ köşeli bağlantılı (ve basit) bir $G$ çizgesinde

(a) kenar sayısı $\geq n$ ise en az bir döngü vardır,

(b)  $\displaystyle{\sum_{v\in G}\deg(v) \geq 2(n-1)}$ dir, ispatlayınız.

$n$ tam sayı ve $0<n\le10$ olmak üzere $n$ evli çift düz bir sıra halinde dizilecektir. Herhangi iki çiftin yan yana bulunmadığı durumların sayısı tam küp olacak şekildeki $n$ sayılarının toplamı kaçtır ? (İbrahim Atakan Çiçek)

Bir hastalığın teşhisinde hekimin yanılma olasiligi yuzde bir olarak biliniyor.Belli bir periyotta gelen 200 hastadan en birine yanlış teşhis koyma olasılığını bulunuz.

Rakamlarının toplamı $32$ olan kaç tane dört basamaklı doğal sayı vardır?

$100\times100$ boyutunda bir satranç tahtasında bazı birim karelerin merkezleri siyah renge boyanacaktır. Birim kare merkezlerinden üçü birden siyaha boyalı olan hiçbir üçlü dik üçgen oluşturmayacak şekilde en fazla kaç birim kare merkezi siyaha boyanabilir?

$8\times 8$'lik bir satranç tahtasının herhangi bir karesini çıkartalım ve kalan şekli $3$ birimkare yer kaplayan $L$ şeklindeki dominolarla kaplayalım. Eğer şekil boşluksuz bir şekilde kaplanıyorsa çıkardığımız kareye $\textit{özel kare}$ diyelim. Bu tahta üzerindeki tüm kareler bir $\textit{özel kare}$ midir?

(Bahsedilen $L$ şeklindeki dominolar $2\times 2$'lik karenin bir köşesinin çıkartılmasıyla oluşturulmuş şekillerdir)

Bir dışbükey $11$genin tüm köşegenleri çizildiğinde, kesişim noktalarıyla bölünen köşegen parçalarının, $11$genin tamamen içinde kalan ve $11$genin köşeleriyle ortak noktası bulunmayanların sayısı en en çok kaç olabilir?
(Örneğin $5$gen için en çok $5$, $6$gen için en çok $18$ olabilir)

Problem: Her $n\geq 1$ tek tam sayısı ve $0\leq m < n$ aralığındaki her $m$ çift tam sayısı için $n$ köşeli bir $m$-düzenli çizgenin varlığını kanıtlayınız.


Notlar:
$\color{blue}\bullet $ $n$ köşeli bir $m$-düzenli çizge, köşelerin her birinin derecesinin aynı $m$ sayısına eşit olduğu çizgelerdir.

$\color{blue}\bullet $ $m$ ve $n$ tek sayı iken $n$ köşeli $m$-düzenli çizge yoktur. Çünkü çizgenin toplam derecesi $m\cdot n$ bir tek sayıdır ve Leonard Euler'in El Sıkışma Teoremi ne göre, çizgenin toplam derecesi çift sayı olmalıdır. Çelişki.

$\color{blue}\bullet $ $m=0$ durumunda çizgeye hiç kenar çizmiyoruz demektir. $n>m\geq 2$ problemi çözülmelidir.

$\color{blue}\bullet$ $n$ için çift sayı durumu incelenmişti. Bunlarla beraber düşünülürse, $n$ köşeli $m$-düzenli çizgeler ile ilgili olarak $(m,n)$ ikililerinin alabileceği tüm değerleri belirlemiş oluyoruz.

Çözüm mantığını sevdiğim bir soru olduğundan forumda bulunmasını istediğim bir soru var.

Problem: Bir telefona bir günde ortalama $10$ mesaj geliyorsa bugün $10$ tane mesaj gelme olasılığı nedir?

$38$ kişilik bir sınıfın girdiği test sınavında ahmet $12$ soruyu yanlış cevaplamıştır. Diğer öğrencilerin yanlış soru sayısı daha azdır.
Aynı soruda yanlış soru cevaplayan öğrenci sayısı $n$ olsun. $n$ en az kaçtır?

Problem: In a football tournament where $n>2$ teams participate, each team plays a match against each other. The number of matches won and drawn by each team is the same. For example, one team may have won $5$ games and finished $5$ games in a draw, while another team may have won $8$ games and finished $8$ games in a draw. Determine the values that $n$ can take.



Solution (Lokman Gökçe):

Each team plays $n-1$ matches. Let the teams win $a_1, a_2, \dots , a_n$ games and lose $b_1, b_2, \dots , b_n$ games, respectively. $$2a_1 + b_1 = n-1, \quad 2a_2 + b_2 = n-1, \text{ } \dots \text{
} , \quad 2a_n + b_n = n-1 .$$

If we add these equations together, we get

$$ \sum_{i=1}^{n} (2a_i + b_i) = n(n-1).$$

Also $$ \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1}^{n} b_i $$ is an invariant for us. Therefore we find that

$$ \sum_{i=1}^{n} a_i = \dfrac{n(n-1)}{3} \tag{1}$$

$\bullet$ If $n = 3k + 2$ ($k \in \mathbb Z^+$), $\dfrac{n(n-1)}{3}$ is not a positive integer. Thus, $n$ can not in the form $3k+2$.

$\bullet$ If $n = 3k + 1$ ($k \in \mathbb Z^+$), we can find a suitable configuration that satisfy all conditions. Let $A_1, A_2, \dots , A_n$ be teams. If team $A_i$ has won against $A_j$, we will show this with $A_i \to A_j$. If their match ends in a draw, we will not draw a line between them. (You can draw dashed lines if you want, but the shape may look a bit complicated.) For the sake of simplicity, I will draw a graph for the case $k=3, n=10$.


$$(A_1\to A_2, A_1\to A_3, A_1\to A_4); \quad (A_2\to A_3, A_2\to A_4, A_2\to A_5); \quad \dots \quad ; (A_{10}\to A_1, A_{10}\to A_2, A_{10}\to A_3)$$

Thus, in this configuration each team team has $3$ wins, $3$ losses, and $3$ draws. Easily we can adapted this configuration to $n = 3k+1$ form. Each team team will have $k$ wins, $k$ losses, and $k$ draws.

$\bullet$ For $n=3$ case, easily we can see that there is a suitable configuration. For the teams $A_1, A_2, A_3$, if $A_1 \to A_2$ then $A_1$ and $A_3$ have a draw game. So, $A_3 \to A_2$. For $n=3k$ and $k\geq 2$,we can find a configuration. $A_n$ loses all matches. Matches between other $n-1$ teams result in $m-1$ wins, $m-1$ losses, $m$ draws. From $(m-1) + (m-1)+ m = n - 2 = 3k - 2$, we get $m=k$. Thus, $n$ can be in the form $3k$.

Below we see an example graph for the case $k=3, n=9$. In the figure, $A_9$ lost to every other team.


Aslo, $$(A_1\to A_2, A_1 \to A_3); \quad (A_2\to A_3, A_2\to A_4); \quad \dots \quad ; (A_7\to A_8, A_7\to A_1); (A_8\to A_1, A_8\to A_2)$$

When $n=3k$, $k\geq 2$, $A_n$ will loss to the others. If the indexes $\{ 1, 2, \dots , n-1\}$ in $\pmod {n-1}$, $A_i$ wins to $A_{i+1}, A_{i+2},\dots , A_{i+k-1}$ and $A_i$ loss to $A_{i-1}, A_{i-2}, A_{i-k+1}$. Other matches will end in a draw. This is a suitable configuration for $n=3k$, $k\geq 2$ case.

In summary, for $k\geq 1$ integers, if $n = 3k+1$ or $n = 3k$ then there is a suitable configuration. When $n=3k+2$, there is no suitable configuration.



Notlar:
1. Problemi yabancı bir siteye gönderecektim. Çözüm üzerindeki kısmi ilerlemelerimi yazarken, problemin tamamını çözdüm sanıyorum. Site kuralları gereği çözümünü bildiğimiz soruyu göndermemiz uygun olmuyordu. Bu sebeple soruyu yabancı sitede sormaktan vazgeçtim.

2. Yazıp bitirdiğim için paylaşım amaçlı burada sunmak faydalı olur bence. Daha sonra Türkçe çevirisini de paylaşabilirim. Hata veya düzeltme gerektiren kısımlar varsa belirtirseniz sevinirim. Problem farklı çözümlere de açıktır.

3. Problemi, kaynak olarak Refail Alizade'nin Sonlu Matematik isimli kitabından alıp genişlettim. Kitapta $(1)$ denklemine ulaşılması amaçlanan biçimde soru soruluyor. Burada $n$ nin tüm mümkün değerlerini araştırmış olduk.

Bu soru üzerinde standart normal dağılım fonksiyonu, birikimli dağılım fonksiyonu ve $z$ cetveli ile ilgili bir çalışma yapalım:



Soru: Ortalaması $50.8$, standart sapması $29.9$ olan bir sınavda

(a) bir öğrenci ortalamadan $4$ standart sapma uzaklıkta bir puan almıştır. Negatif puan yoktur. Bu öğrencinin puanı kaçtır?


(b) bir öğrenci $66$ puan almıştır. Bu öğrencinin puanı, ortalamadan kaç standart sapma fazladır?

(c) bir öğrenci $66$ puan almıştır. Sınavdaki puanların normal dağılım (Gauss dağılımı) gösterdiği bilindiğine göre bu öğrencinin yüzdelik dilim olarak sıralaması kaçtır?

(d) Sınavdaki puanların normal dağılım (Gauss dağılımı) gösterdiği bilindiğine göre, başarı dilimi $\% 66$ olan bir öğrencinin bu sınavdan aldığı puan kaçtır? ($\% 99 - \% 100 $ aralığı en başarılı olanların, yani en yüksek puana sahip olanların bulunduğu aralıktır.)

$a)$ Düzlemi $n$ adet çember ile en fazla kaç alt bölgeye ayırabiliriz?

$b)$ Düzlemi $n$ adet elips ile en fazla kaç alt bölgeye ayırabiliriz?

Problem: Her $n\geq 2$ çift tam sayısı ve $0\leq m < n$ aralığındaki her $m$ tam sayısı için $n$ köşeli (noktalı) bir $m$-düzenli çizgenin varlığını kanıtlayınız.



Notlar:
$\color{blue}\bullet $ $n$ köşeli bir $m$-düzenli çizge, köşelerin her birinin derecesinin aynı $m$ sayısına eşit olduğu çizgelerdir.

$\color{blue}\bullet $ $m=0$ durumunda çizgeye hiç kenar çizmiyoruz demektir. $m = 1$ durumunda $n$ tane noktayı ikişerli olarak gruplandırırsak $\dfrac{n}{2}$ tane grup olur. Her grubun
iki noktasını kendi içinde birleştirerek $\dfrac{n}{2}$ tane kenar elde ederiz. Her noktanın derecesinin $m=1$ olduğu gösterilmiş olur. $n>m\geq 2$ için problem çözülmelidir.

Bir hayvan, kartezyan koordinat sisteminde $x=y\geq 0$ ışını üzerinde orijinden başlayarak yön değiştirmeden hareket etmektedir. Bu ışın üzerinde ilk $100$ birimde rastgele bir noktaya kurulmuş tuzağa yakalanıp x-eksenine düşey olarak düşer. Düştüğü noktadan ise x-ekseni boyunca yine yön değiştirmeden orijine doğru harekete geçer. Bu yol üzerinde ise orijine varamadan rastgele bir noktada avcıya yakalanır. Tuzağın kurulduğu ve hayvanın yakalandığı rastgele noktaların seçiminin ayrı ayrı olarak düzgün dağılım olduğunu biliyoruz. Buna göre hayvanın yürüğü toplam yolun (yani düşerken havada aldığı yol hariç) $50$ birimi geçmeme olasılığı nedir? (Metin Can Aydemir)

$n$ bir dogal sayı ve $n\geq4$ olmak üzere konveks bir çokgenin bütün köşegenleri çizildiğinde çokgenin iç bölgesi en çok kaç farklı ayrık bölgeye ayrılır?

Problem [Lokman GÖKÇE]: Bir ülkedeki $n$ tane şehirden herhangi ikisi arasında doğrudan ulaşım sağlayan en fazla bir karayolu vardır. Doğrudan kara yolu ulaşımı en az olan şehirlerin her birinin ulaşabildiği $17$'şer şehir vardır. Ülkedeki toplam şehirlerarası karayollarının sayısı  $190$ ise, $n$ nin alabileceği değerler toplamını bulunuz.



Not: Sanırım, lise 1. aşama düzeyine uygun bir soru oldu. Çizge teorisi çok bilgili olduğum bir alan değildir. Bu yüzden sorunun hikayesini sunarken yanlış anlaşılacak bir kısım olmaması için, problemin graf teorisi diliyle ifadesini de vermek iyi olabilir. Kendim de daha iyi kavrayabilmek için temel kavramları kullanarak yeni problemler üretmeye çalışıyorum. Bu düzeyde yeni bir soru yazarsam ya da öğrenirsem onları da paylaşabilirim. Sorumuz şuna eşdeğerdir:



Bir (basit) grafta, derecesi en az olan köşenin/köşelerin derecesi $17$ dir. Graftaki toplam kenar sayısı $190$ ise, köşe sayısının alabileceği değerler toplamını bulunuz.

Soru, $2000$ Tübitak Ortaokul Matematik Olimpiyatı 1. Aşama Sınavı'ndan modifiyedir.


Soru: Bir pozitif tam sayının $9$ katının rakamları toplamına o sayının öz sayısı diyelim. Tüm üç basamaklı sayıların öz sayılarının toplamı kaçtır?



Not: Sonucu $16200$ olarak hesapladım. Çözüm göndermek isteyenler için katkılarını bekleriz. Kendi çözümümü de daha sonra ekleyeceğim.

BU başlıkta iki kefeli terazi problemlerini derlemeyi düşündüm. Aklımıza gelen problemleri ve çözümlerini burada sunabiliriz.


Problem 1. Görünüşleri aynı olan $n$ tane madeni paradan biri, diğerlerinden daha ağırdır. İki kefeli bir terazi kullanarak en az kaç adımda, farklı olan parayı belirlemeyi garantileyebiliriz?


Problem 2. Görünüşleri aynı olan $n$ tane madeni paradan biri, diğerlerinden ağırlıkça farklıdır. Farklı olan paranın diğerlerinden daha ağır mı, hafif mi olduğunu da bilmiyoruz. İki kefeli bir terazi kullanarak en az kaç adımda, farklı olan parayı belirlemeyi garantileyebiliriz?


Problem 3. Görünüşleri aynı olan $n$ tane madeni paradan biri, diğerlerinden ağırlıkça farklıdır. Farklı olan paranın diğerlerinden daha ağır mı, hafif mi olduğunu da bilmiyoruz. İki kefeli bir terazi kullanarak en az kaç adımda, farklı olan parayı ve onu diğerlerinde ağır/hafif olma durumunu belirlemeyi garantileyebiliriz?

Kırmızı, sarı ve mavi renkli toplardan altışar tane bulunan $18$ top arasından rastgele seçilen $7$ top çembersel bir sırada diziliyor. Mümkün dizilişlerin sayısı nedir?

$\textbf{a)}\ 213 \qquad\textbf{b)}\ 216  \qquad\textbf{c)}\ 312 \qquad\textbf{d)}\ 340 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $