Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2007 Çözümleri
« 2006 2008 »
« Sorulara Git
Geri

Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2007 Çözümleri

1
Bir $ABC$ dik üçgeninin $[BC]$ hipotenüsü üstünde $|BD|=2$ ve $|DC|=12$ olacak şekilde bir $D$ noktası bulunmaktadır. $|AD|=7$ ve $s(\widehat{ACB})= \alpha$ ise $s(\widehat{DAC})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 180^{\circ}-4 \alpha  \qquad\textbf{b)}\ 180^{\circ}-3 \alpha  \qquad\textbf{c)}\ 180^{\circ}-2 \alpha  \qquad\textbf{d)}\ 90^{\circ}-3 \alpha  \qquad\textbf{e)}\ 90^{\circ}-2 \alpha$
2
Kare kökü, birler basamağındaki rakamın kare kökü ile onlar basamağındaki rakamın toplamına eşit olan iki basamaklı kaç pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a) } 4$                               $\textbf{b) } 3$                               $\textbf{c) } 2$                               $\textbf{d) } 1$                               $\textbf{e) }0$     
3
$n=9+99+999+\ldots + \overbrace {999\ldots9}^{\text{100 tane}}$ sayısının ondalık yazımında kaç tane sıfır rakamı vardır?

$\textbf{a) } 0$                               $\textbf{b) }1$                               $\textbf{c) } 2$                               $\textbf{d) } 3$                               $\textbf{e) } 5$         
4
$O$ merkezli çember üstünde $AB//OC$ olacak biçimde alınan $A, B$ ve $C$ noktaları için, $s(\widehat{OCB}) = 78^o$ ise, $s(\widehat{OAB})$ nedir?

$\textbf{a) } 20$                               $\textbf{b) } 22$                               $\textbf{c) }24$                               $\textbf{d) } 26$                               $\textbf{e) } 28$         
5
Aynı uzunlukta ve sabit hızlarla yanan iki mumdan biri $4$ saatte, diğeri de $5$ saatte bitiyor.  İki mum da aynı anda yakılırsa, yakıldıkları andan kaç saat sonra, yavaş yanan mumun kalan bölümü hızlı yanan mumun kalan kısmının iki katı uzunlukta olur?

$\textbf{a) }2$                             $\textbf{b) } \dfrac{5}{2}$                             $\textbf{c) } 3$                             $\textbf{d) } \dfrac{10}{3}$                             $\textbf{e) } \dfrac{7}{2}$         
6
Kendisinden, basamaklarının toplamı çıkarıldığında $ 2007$ elde edilen kaç pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a) }0$                               $\textbf{b) } 1$                               $\textbf{c) } 6$                               $\textbf{d) } 9$                               $\textbf{e) } 10$         
7
$AB//CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunun $[AC]$ köşegeni üstünde bir $E$ noktası, $[BD]$ köşegeni üstünde de bir $F$ noktası, $|CE|/|EA| = |DF|/|FB| = 1/4$ olacak şekilde alınıyor. $|AB| = 6$ ve $|CD| = 9$ ise, $|EF|$ nedir?


$\textbf{a) } 6$                               $\textbf{b) } 7$                               $\textbf{c) } \dfrac{15}{2}$                               $\textbf{d) }8$                               $\textbf{e) } 9$         
8
$m × n$ bir satranç tahtasının birim karelerinin % $1$ i işaretlenmiştir. Tahtanın sütunlarının en az %$30$ unda, satırlarının ise en az %$40$ ında işaretlenmiş kare bulunuyorsa, $m.n$ çarpımının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a) } 100$                               $\textbf{b) } 120$                               $\textbf{c) }1000$                               $\textbf{d) }1200$                               $\textbf{e) } 6000$         
9
Her birinde farklı bir sayı olmak üzere, üstlerinde $1$ den $2007$ ye kadar olan tam sayıların yazılı bulunduğu $2007$ top, $k$ kutuya dağıtılıyor. Herhangi bir $n$ tam sayısı için, üstünde $n$ yazılı bir topla $n$ nin bir tam katının yazılı bulunduğu bir top aynı kutuya konmuyorsa, $k$ en az kaç olmalıdır?

$\textbf{a) } 10$                               $\textbf{b) } 11$                               $\textbf{c) }223$                               $\textbf{d) } 1003$                               $\textbf{e) } 1004$         
10
Kaç $n$ tamsayısı için, $n^3+4$ sayısı $n^2-n+1$ ile bölünür?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 3
\qquad{d)}\ 4
\qquad{e)}\text{Hiçbiri}
$
11
Kaç farklı $n$ tamsayısı için $\dfrac{5n-17}{3n-5}$ bir tamsayı olur ?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$
12
Bir $ABCD$ paralelkenarının $[BC]$ kenarı üstünde $|BF|=3|CF|$ olacak şekilde bir $F$ noktası alınıyor. $[AB]$ kenarının orta noktası $E$ ve $AF$ ile $DE$ nin kesişim noktası $G$ olmak üzere, $|GE|=6$ ise $|DE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 20  \qquad\textbf{c)}\ 22  \qquad\textbf{d)}\ 36  \qquad\textbf{e)}\ 42$
13
OLİMPİYAT sözcüğünün harfleri, bütün sesli harfler art arda geçmek üzere kaç farklı biçimde sıralanabilir?

$\textbf{a)}\ 2 \cdot 3! \cdot 6!  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9!}{2!}  \qquad\textbf{c)}\ 6! \cdot 4!  \qquad\textbf{d)}\ 9!  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
14
Kaç farklı $n$ pozitif tamsayısı için $n!+24$ bir tamkaredir?


$\textbf{a) } 1$                               $\textbf{b) } 2$                               $\textbf{c) }4$                               $\textbf{d) } 8$                               $\textbf{e) } \text{Hiçbiri}$         
15
Bir $ABCD$ paralelkenarının $[AD]$ kenarı üstünde $2|AE|=|ED|$ olacak şekilde bir $E$ noktası ile $[CD]$ kenarı üstünde $2|CF|=3|FD|$ olacak şekilde bir $F$ noktası alınıyor. $AF$ ile $BE$ nin kesişim noktası $G$ olmak üzere$,$ $\text{Alan}(EGFD)-\text{Alan}(AGB)=2$ ise $\text{Alan}(ABCD)$ nedir?

$\textbf{a)}\ 36  \qquad\textbf{b)}\ 48  \qquad\textbf{c)}\ 50  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 64$
16
Farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin en büyük iki elemanının çarpımının $3/7$ si, geriye kalan elemanların toplamına eşitse, kümedeki sayılardan en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 21$
Çözüm:
Yanıt: $\boxed{C}$

İstenilen özelliğe sahip bir kümenin  elemanlarını küçükten büyüğe doğru sıralanmış olarak $A = \{a_1, a_2, \dots , a_n\}$ ile gösterelim. Ayrıca kısaltma açısından $a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-2}=S$ kullanalım. Bize
$$ 3a_{n}\cdot a_{n-1} = 7S \tag{1}$$
eşitliği veriliyor. Buna göre $7\mid a_{n-1}$ veya $7 \mid a_n$ olmalıdır.

$\bullet$ $a_n$ nin en küçük değerini aradığımız için $a_n =7$ durumuyla başlarız. Böylece $a_{n-1} \leq 6, a_{n-2} \leq 5, \dots $ eşitsizliklerini elde ederiz. Bu durum için $S$ toplamı en fazla $5$ terimin toplamından oluşabilir. $(1)$ den dolayı
$$ 3\cdot 7 \cdot a_{n-1} \leq 7\cdot (1+2+3+4+5) $$
olup $a_{n-1} \leq 5$ elde edilir. Bu ise, kullandığımız pozitif tam sayıların birbirinden farklı olması ile çelişir. Buradaki çelişkiyi daha iyi görmek için
$a_{n-1} = 5$ iken $ 3\cdot 7 \cdot 5 \leq 7\cdot (1+2+3+4) $
$a_{n-1} = 4$ iken $ 3\cdot 7 \cdot 4 \leq 7\cdot (1+2+3) $
v.b. çelişkilerini kullanabiliriz.

$\bullet $  $8\leq a_n \leq 13$ durumuna bakalım. $7 \mid a_{n-1}$ olduğundan $a_{n-1}=7$ dir. $a_{n-2} \leq 6$ olur. Böylece $(1)$ eşitliğinden
$$ 3\cdot a_{n} \cdot 7 = 7S \leq 7(1+2+3+4+5+6) $$
olup $a_{n}\leq 7$ çelişkisi bulunur.

$\bullet $  $a_n =14$ durumuna bakalım. İlk $14$ pozitif tam sayıyı gösteren $1\leq k \leq 14$ için $a_k = k$ dizisi için $(1)$ eşitliğinin sağlandığını görebiliriz. $3\cdot 14 \cdot 13 = 7\cdot (1+2+\cdots + 13)$ olur. Dolayısıyla $A$ kümesinin en büyük elemanının alabileceği en küçük değer $a_n = 14$ tür.
17
$2007$ kent arasında karşılıklı uçak seferleri düzenleniyor. Herhangi bir kentten bir diğerine en çok bir aktarma yaparak ulaşılmasını olanaklı kılmak için, en az kaç sefer düzenlenmelidir?

$\textbf{a) } 2007$                               $\textbf{b) } 2064$                               $\textbf{c) }3002$                               $\textbf{d) } 4006$                               $\textbf{e)} \text{ Hiçbiri} $         
18
$|AB|=|AC|$ olan bir ikizkenar $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarını çap kabul eden bir çember $[AC]$ kenarını $A$ ve $D$ noktalarında$,$ $[BC]$ kenarını da $B$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $|DE|=7$ ise $|BC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 7\sqrt2  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{21}{2}  \qquad\textbf{d)}\ 7\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 14$
19
$8^{26} \cdot 125^{48}$ sayısının yedi tabanına göre yazımının son iki basamağı nedir?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad{b)}\ 31
\qquad{c)}\ 41
\qquad{d)}\ 51
\qquad{e)}\ 61
$
Çözüm:
Yanıt:$\boxed{A}$

Yedi tabanına göre son iki basamağı bulmak için bu sayının $\pmod {7^2}$ verdiği kalana bakacağız.

$2^{78}\cdot 125^{48}  \equiv x \pmod {49}$ değerini bulmalıyız. Euler Teoreminden $\varphi \left( 49\right)=(7^2-7^1)=42$ dir.

$2^{78}\cdot 125^{48}  \equiv 2^{36}\cdot 2^{42}\cdot 125^{6}\cdot 125^{42}\equiv 2^{36}\cdot 125^{6} \equiv 15^6 \cdot 27^6  \equiv (405)^6 \equiv 13^6  \equiv 15 \pmod {49}$ elde edilir.

$15$'in $7$ tabanında yazımı, $15= 2\cdot 7^1 + 1\cdot 7^0 =(21)_7$ elde edilir.
20
Bir kasa elma, bir odada bulunan çocuklara, en çok elma alan çocukta elmaların $1/5$ i, en az elma alan çocukta elmaların $1/7$ si olacak şekilde dağıtılıyor. Odada en çok kaç çocuk vardır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 21  \qquad\textbf{d)}\ 35  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
Çözüm:
Yanıt: $\boxed{B}$

En çok elma alan ve en az elma alan çocuklardan başka $n$ tane çocuk daha olsun. Bu $n$ tane çocuğun aldığı elma oranı $1- \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{23}{35}$ olacaktır. Bu çocuklar ortalama $\dfrac{23}{35n}$ oranında elma almış demektir. Bu ortalama ile ilgili
$$ \dfrac{1}{7} \leq \dfrac{23}{35n} \leq \dfrac{1}{5} $$
eşitsizliğini yazabiliriz. Buradan $\dfrac{23}{7} \leq n \leq \dfrac{23}{5} $ olup $n=4$ elde edilir. O halde odada bulunan çocuk sayısı $4 + 2 = 6$'dır.

Ayrıca, $n=4$ durumu için örnek vardır. Kasada $140$ elma olsun. Çocukların aldığı elma sayıları $20, 23, 23, 23, 23, 28$ biçiminde olabilir.
21
$AB//CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $\angle C+ \angle D = 270^0$ dir. $|AD|=12, |DC|=23,$ ve $|BC|=35$ ise, $|AB|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 50
\qquad{b)}\ 53
\qquad{c)}\ 57
\qquad{d)}\ 60
\qquad{e)}\ 63
$