Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2007

Bir $ABC$ dik üçgeninin $[BC]$ hipotenüsü üstünde $|BD|=2$ ve $|DC|=12$ olacak şekilde bir $D$ noktası bulunmaktadır. $|AD|=7$ ve $s(\widehat{ACB})= \alpha$ ise $s(\widehat{DAC})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 180^{\circ}-4 \alpha  \qquad\textbf{b)}\ 180^{\circ}-3 \alpha  \qquad\textbf{c)}\ 180^{\circ}-2 \alpha  \qquad\textbf{d)}\ 90^{\circ}-3 \alpha  \qquad\textbf{e)}\ 90^{\circ}-2 \alpha$

Kare kökü, birler basamağındaki rakamın kare kökü ile onlar basamağındaki rakamın toplamına eşit olan iki basamaklı kaç pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a) } 4$                               $\textbf{b) } 3$                               $\textbf{c) } 2$                               $\textbf{d) } 1$                               $\textbf{e) }0$     

$n=9+99+999+\ldots + \overbrace {999\ldots9}^{\text{100 tane}}$ sayısının ondalık yazımında kaç tane sıfır rakamı vardır?

$\textbf{a) } 0$                               $\textbf{b) }1$                               $\textbf{c) } 2$                               $\textbf{d) } 3$                               $\textbf{e) } 5$         

$O$ merkezli çember üstünde $AB//OC$ olacak biçimde alınan $A, B$ ve $C$ noktaları için, $s(\widehat{OCB}) = 78^o$ ise, $s(\widehat{OAB})$ nedir?

$\textbf{a) } 20$                               $\textbf{b) } 22$                               $\textbf{c) }24$                               $\textbf{d) } 26$                               $\textbf{e) } 28$         

Aynı uzunlukta ve sabit hızlarla yanan iki mumdan biri $4$ saatte, diğeri de $5$ saatte bitiyor.  İki mum da aynı anda yakılırsa, yakıldıkları andan kaç saat sonra, yavaş yanan mumun kalan bölümü hızlı yanan mumun kalan kısmının iki katı uzunlukta olur?

$\textbf{a) }2$                             $\textbf{b) } \dfrac{5}{2}$                             $\textbf{c) } 3$                             $\textbf{d) } \dfrac{10}{3}$                             $\textbf{e) } \dfrac{7}{2}$         

Kendisinden, basamaklarının toplamı çıkarıldığında $ 2007$ elde edilen kaç pozitif tam sayı vardır?

$\textbf{a) }0$                               $\textbf{b) } 1$                               $\textbf{c) } 6$                               $\textbf{d) } 9$                               $\textbf{e) } 10$         

$AB//CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunun $[AC]$ köşegeni üstünde bir $E$ noktası, $[BD]$ köşegeni üstünde de bir $F$ noktası, $|CE|/|EA| = |DF|/|FB| = 1/4$ olacak şekilde alınıyor. $|AB| = 6$ ve $|CD| = 9$ ise, $|EF|$ nedir?


$\textbf{a) } 6$                               $\textbf{b) } 7$                               $\textbf{c) } \dfrac{15}{2}$                               $\textbf{d) }8$                               $\textbf{e) } 9$         

$m × n$ bir satranç tahtasının birim karelerinin % $1$ i işaretlenmiştir. Tahtanın sütunlarının en az %$30$ unda, satırlarının ise en az %$40$ ında işaretlenmiş kare bulunuyorsa, $m.n$ çarpımının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a) } 100$                               $\textbf{b) } 120$                               $\textbf{c) }1000$                               $\textbf{d) }1200$                               $\textbf{e) } 6000$         

Her birinde farklı bir sayı olmak üzere, üstlerinde $1$ den $2007$ ye kadar olan tam sayıların yazılı bulunduğu $2007$ top, $k$ kutuya dağıtılıyor. Herhangi bir $n$ tam sayısı için, üstünde $n$ yazılı bir topla $n$ nin bir tam katının yazılı bulunduğu bir top aynı kutuya konmuyorsa, $k$ en az kaç olmalıdır?

$\textbf{a) } 10$                               $\textbf{b) } 11$                               $\textbf{c) }223$                               $\textbf{d) } 1003$                               $\textbf{e) } 1004$         

Kaç $n$ tamsayısı için, $n^3+4$ sayısı $n^2-n+1$ ile bölünür?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 3
\qquad{d)}\ 4
\qquad{e)}\text{Hiçbiri}
$

Kaç farklı $n$ tamsayısı için $\dfrac{5n-17}{3n-5}$ bir tamsayı olur ?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

Bir $ABCD$ paralelkenarının $[BC]$ kenarı üstünde $|BF|=3|CF|$ olacak şekilde bir $F$ noktası alınıyor. $[AB]$ kenarının orta noktası $E$ ve $AF$ ile $DE$ nin kesişim noktası $G$ olmak üzere, $|GE|=6$ ise $|DE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 20  \qquad\textbf{c)}\ 22  \qquad\textbf{d)}\ 36  \qquad\textbf{e)}\ 42$

OLİMPİYAT sözcüğünün harfleri, bütün sesli harfler art arda geçmek üzere kaç farklı biçimde sıralanabilir?

$\textbf{a)}\ 2 \cdot 3! \cdot 6!  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{9!}{2!}  \qquad\textbf{c)}\ 6! \cdot 4!  \qquad\textbf{d)}\ 9!  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Kaç farklı $n$ pozitif tamsayısı için $n!+24$ bir tamkaredir?


$\textbf{a) } 1$                               $\textbf{b) } 2$                               $\textbf{c) }4$                               $\textbf{d) } 8$                               $\textbf{e) } \text{Hiçbiri}$         

Bir $ABCD$ paralelkenarının $[AD]$ kenarı üstünde $2|AE|=|ED|$ olacak şekilde bir $E$ noktası ile $[CD]$ kenarı üstünde $2|CF|=3|FD|$ olacak şekilde bir $F$ noktası alınıyor. $AF$ ile $BE$ nin kesişim noktası $G$ olmak üzere$,$ $\text{Alan}(EGFD)-\text{Alan}(AGB)=2$ ise $\text{Alan}(ABCD)$ nedir?

$\textbf{a)}\ 36  \qquad\textbf{b)}\ 48  \qquad\textbf{c)}\ 50  \qquad\textbf{d)}\ 60  \qquad\textbf{e)}\ 64$

Farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin en büyük iki elemanının çarpımının $3/7$ si, geriye kalan elemanların toplamına eşitse, kümedeki sayılardan en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 7  \qquad\textbf{b)}\ 8  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 21$

$2007$ kent arasında karşılıklı uçak seferleri düzenleniyor. Herhangi bir kentten bir diğerine en çok bir aktarma yaparak ulaşılmasını olanaklı kılmak için, en az kaç sefer düzenlenmelidir?

$\textbf{a) } 2007$                               $\textbf{b) } 2064$                               $\textbf{c) }3002$                               $\textbf{d) } 4006$                               $\textbf{e)} \text{ Hiçbiri} $         

$|AB|=|AC|$ olan bir ikizkenar $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarını çap kabul eden bir çember $[AC]$ kenarını $A$ ve $D$ noktalarında$,$ $[BC]$ kenarını da $B$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $|DE|=7$ ise $|BC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 7\sqrt2  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{21}{2}  \qquad\textbf{d)}\ 7\sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ 14$

$8^{26} \cdot 125^{48}$ sayısının yedi tabanına göre yazımının son iki basamağı nedir?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad{b)}\ 31
\qquad{c)}\ 41
\qquad{d)}\ 51
\qquad{e)}\ 61
$

Bir kasa elma, bir odada bulunan çocuklara, en çok elma alan çocukta elmaların $1/5$ i, en az elma alan çocukta elmaların $1/7$ si olacak şekilde dağıtılıyor. Odada en çok kaç çocuk vardır?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 21  \qquad\textbf{d)}\ 35  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$AB//CD$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $\angle C+ \angle D = 270^0$ dir. $|AD|=12, |DC|=23,$ ve $|BC|=35$ ise, $|AB|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 50
\qquad{b)}\ 53
\qquad{c)}\ 57
\qquad{d)}\ 60
\qquad{e)}\ 63
$