Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2006

$\dfrac{15}{39}<\dfrac{6}{n}<\dfrac{7}{13}$ koşulunu sağlayan kaç $n$ pozitif tamsayısı vardır ?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 3
\qquad{d)}\ 4
\qquad{e)}\ 5
$

Kendisinden ondalık yazılımındaki basamaklarının toplamını çıkardığımızda , basamaklarının çarpımını elde ettiğimiz kaç pozitif tamsayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad{b)}\ 10
\qquad{c)}\ 11
\qquad{d)}\ 12
\qquad{e)}\ 13
$

Bir $ABC$ eşkenar üçgeninin $|AB|$ kenarı üstünde $E$ ve $|BC|$ kenarı üstünde bir $F$ noktası $|BE|=|FC|$ olacak biçimde alınıyor.
$|EF|$ nin orta noktası $K$ ise, $\dfrac{|BK|}{|AF|}$ nedir ?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad{b)}\ 2
\qquad{c)}\ 1
\qquad{d)}\ \dfrac{1}{3}
\qquad{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Kenar uzunlukları $1$ olan $8$ tane küpten her birinde, iki karşılıklı yüz birer nokta , başka iki karşılıklı yüz ikişer nokta, ger kalan karşılıklı yüz ise üçer nokta olarak işaretleniyor. Bu $8$ küp ile $2\times2\times2$ boyutlarında bir küp oluşturursak, bu kip üzerine işaretlenmiş nokta sayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 24
\qquad{b)}\ 32
\qquad{c)}\ 36
\qquad{d)}\ 40
\qquad{e)}\ 48
$

Her harf sıfırdan farklı bir rakamı göstermek üzere, $AAA+BBB+CCC=ABBC$ ise, $A+B+C$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 14
\qquad{b)}\ 16
\qquad{c)}\ 18
\qquad{d)}\ 23
\qquad{e)}\ 24
$

Bir $\triangle ABC$ üçgeninde $|AC|$ nin orta noktası $D$ olmak üzere, $|BC|$ kenarı üstünde $m\widehat {\left( BEA\right) }=m\widehat {\left( CED\right) }$ olacak şekilde bir $E$ noktası alınıyor. $\dfrac{|AE|}{|DE|}$ nedir ?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad{b)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad{c)}\ \dfrac{5}{2}
\qquad{d)}\ \dfrac{4}{3}
\qquad{e)}\ \textit{Hiçbiri}
$

$12$ kişinin katıldığı bir satranç turnuvaasında, her oyuncu, kendi dışındaki her oyuncuyla tam olarak bir kez karşılaşıyorz. Her karşılaşmada kazanan $1$ kaybeden $0$ puan alırken, beraberlik durumunda her iki oyuncu da $0,5$ puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde en az toplam $8$ puan alan oyunculara başarı ödülü veriliyor. En çok kaç oyuncu başarı ödülü alabilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad{b)}\ 5
\qquad{c)}\ 6
\qquad{d)}\ 7
\qquad{e)}\ 8
$

$n$ pozitif tamsayısının kaç farklı değeri için ,$x_{1}+x_{2}+\dots+x_{n}=3$ ve $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\dots+\dfrac{1}{x_{n}}=3$ eşitliklerini sağlayan pozitif $x_{1},x_{2}\dots x_{n}$ gerçelleri bulunur?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad{b)}\ 1
\qquad{c)}\ 2
\qquad{d)}\ 3
\qquad{e)}\ \textit{sonsuz çoklukta}
$

Bir $\triangle ABC$ üçgeninde $m(\widehat A)=34^{\circ}$ ve $m(\widehat B)=48^{\circ}$ dir. İçteğet çemberlerinin $AB$, $BC$ ve $CA$ kenarlarına değme noktaları sırasıyla $C_{1}$, $A_{1}$ ve $B_{1}$ ise, $m(\widehat {B_{1}A_{1}C_{1}})$ nedir ?

$
\textbf{a)}\ 68
\qquad{b)}\ 72
\qquad{c)}\ 73
\qquad{d)}\ 75
\qquad{e)}\ 82
$

$2n^2+5nm-12m^2=28$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,n)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Aşağıdaki sayılardan en küçüğü hangisidir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{10}-2\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt2-2\sqrt7  \qquad\textbf{c)}\ 3-\sqrt7  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{10}-6  \qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt3-\sqrt{10}$

Bir $ABC$ dik üçgeninin $[AC]$ hipotenüsü üstünde$,$ $s(\widehat{DBC})=33^{\circ},\ |AC|=2|BD|$ ve $|AC|>2|CD|$ olacak şekilde bir $D$ noktası varsa$,$ $s(\widehat{C})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 47^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 49^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 57^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 61^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 67^{\circ}$

Bir tam sayıya$,$ ondalık yazılımındaki rakamlar ters sırada yazıldığında yine aynı sayı elde ediliyorsa$,$ $\textit{tersi-düzü-bir sayı}$ diyoruz. $1000$ ile $9999$ arasında tersi-düzü-bir olmayan ardışık tam sayılardan oluşan bir dizinin en çok kaç terimi olabilir?

$\textbf{a)}\ 11  \qquad\textbf{b)}\ 66  \qquad\textbf{c)}\ 109  \qquad\textbf{d)}\ 199  \qquad\textbf{e)}\ 202$

$p,q$ asal sayılar olmak üzere$,\ p(p^2+3q^2-1)=q(q^2+3p^2+1)$ eşitliğini sağlayan kaç $(p,q)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AC|=8,\ |CB|=3$ ve $s(\widehat{C})=120^{\circ}$ dir. $\widehat{ACB}$ açısının açıortayı $AB$ kenarını $D$ noktasında kestiğine göre$,$ $|CD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt3+\sqrt8}{2}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{11}{4}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{4\sqrt3}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4\sqrt2}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{24}{11}$

$x^2-ax+21=0$ denkleminin köklerinden birinin pozitif bir tam sayı olmasını sağlayan en küçük $a$ gerçel sayısı için $a-[a]$ nın değeri nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac14  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac15  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac17  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Matematik öğretmeni$,$ tahtanın soluna $1,$ sağına $2$ yazıyor. Birinci öğrenci bu sayıların arasına toplamları olan $3$ sayısını yazıyor. İkinci öğrenciden itibaren sırası gelen her öğrenci yine tahtada ardışık yazılı tüm sayı ikilileri için$,$ bunların arasına toplamlarını yazıyor. Yedinci öğrenci de işlemlerini bitirdikten sonra$,$ tahtada yazılı tüm sayıların toplamı kaç olur?

$\textbf{a)}\ 3192  \qquad\textbf{b)}\ 3216  \qquad\textbf{c)}\ 3282  \qquad\textbf{d)}\ 3312  \qquad\textbf{e)}\ 3366$

Bir çemberin bir $[AC]$ kirişi ile çembere $C$ noktasında çizilen teğete paralel bir $[BD]$ kirişi $E$ noktasında kesişiyor. $|AB|=3|BE|$ ve $\text{Alan}(ADC)=18$ ise $\text{Alan}(CDE)$ nedir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Akıntının hızının sabit olduğu bir nehirde akıntıya kapılmış giden bir sal üstünde bulunan delikanlı, sal tam bir köprünün altından geçerken, nehre atlayıp akıntıya karşı sabit bir hızla yüzmeye başlar. Sal, akıntıyla birlikte hareket etmeye devam eder. Delikanlı, üç dakika yüzdükten sonra, olimpiyat matematik defterini salda unuttuğunu hatırlayıp geri döner. Delikanlı saldan atladığı köprünün 100 metre ilerisinde salı yakalarsa, akıntının hızı nedir?

$\textbf{a)}\ \text{1 km/saat}  \qquad\textbf{b)}\ \text{1,5 km/saat}  \qquad\textbf{c)}\ \text{2 km/saat}  \qquad\textbf{d)}\ \text{3 km/saat}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$d$ tam sayısının kaç farklı değeri için, her biri $d$ ile bölünen ve toplamları $999$ olan $49$ pozitif tam sayı bulunabilir?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 6  \qquad\textbf{e)}\ 8$

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $s(\widehat{A})=s(\widehat{D})=60^{\circ}$ ve $|AC|=18$ dir. $[AB]$ ve $[CD]$ kenarlarının orta dikmelerinin kesişme noktası $AD$ üstünde ise $|BD|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12  \qquad\textbf{b)}\ 16  \qquad\textbf{c)}\ 12\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 18  \qquad\textbf{e)}\ 12\sqrt3$