Tübitak Genç Takım Seçme - 2014

Bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinin dış açıortayı ile $[BC$ ışını $D$ noktasında kesişiyor. $E$ ve $F$ sırasıyla, $B$ ve $C$ köşelerinden $AD$ doğrusuna çizilen dikmelerin ayakları; $G$ de $D$ noktasından $AC$ doğrusuna çizilen dikmenin ayağı olsun. $m(\widehat{DGF}) + m(\widehat{DGE}) = 180^\circ$ olduğunu gösteriniz.

$1, 1, 1, 2, 2, 2, \cdots,m, m, m$ olarak numaralandırılmış $3m$ adet topu $8$ kutuya herhangi iki kutuda aynı rakama sahip en az bir top bulunacak şekilde dağıtmamızı mümkün kılan en küçük $m$ değerini belirleyiniz.

$m^6+5n^2=m+n^3$ eşitliğini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tamsayı ikililerini bulunuz.

$a,b,c$ gerçel sayıları $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=3$ eşitliğini sağlıyorsa,$$(a+5)^2+(b-2)^2+(c-9)^2$$ifadesinin alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

$x(x+1)^3=(2x+a)(x+a+1)$ eşitliğini sağlayan tam olarak $4$ farklı $x$ gerçel sayısının bulunmasını sağlayan tüm $a$ gerçel sabitlerini belirleyiniz.

$(a^3+b)(b^3+a)$ $=$ $2^c$ eşitliğini sağlayan tüm $(a,b,c)$ pozitif tamsayı üçlülerini bulunuz.

Bir $\ell$ doğrusu $ABC$ üçgeninin $[AC]$ ve $[BC]$ kenarlarını sırasıyla, $|CD| = |CE|$ koşulunu sağlayan $D$ ve $E$ noktalarında, $AB$ doğrusunu $BC$ doğrusuna göre $A$ ile farklı tarafta yer alan bir $F$ noktasında ve üçgenin $A$ köşesine ait iç açıortayını da iç bölgesindeki bir $P$ noktasında kesiyor. $$|FB|\cdot|FA| + |CP|^2 = |CF|^2 \Longleftrightarrow |AD|\cdot|BE| = |PD|^2$$olduğunu kanıtlayınız.

Ali ve Zehra köşe sayısı $2014$ olan bir tam çizge üstünde sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. İlk hamleyi yapan Ali her hamlesinde daha önce yönlendirilmemiş kenarlardan birini istediği yönde yönlendiriyor. Zehra ise, her hamlesinde daha önce yönlendirilmemiş en az bir en çok $1000$ kenarı istediği yönlerde yönlendiriyor. Tüm kenarlar yönlendirildiğinde oyun bitiyor ve çizgede yönlü bir döngü oluşmuşsa, Ali; oluşmamışsa, Zehra oyunu kazanıyor. Ali’nin oyunu kazanmayı garantileyip garantileyemeyeceğini belirleyiniz.