$a_0 < a_1 < a_2 < \cdots$ sonsuz pozitif tam sayılar dizisi olsun. Tam olarak bir tane $n\geq 1$ tam sayısı için $$a_n < \dfrac{a_0 + a_1 + \cdots + a_n}{n} \leq a_{n+1}$$ olduğunu gösteriniz.

$n \geq 2$ bir tam sayı olmak üzere, $n^2$ birim kareden oluşan $n\times n$ satranç tahtası verilmiştir. $n$ kalenin; her satırda ve her sütunda tam olarak bir kale olmak üzere, bu satranç tahtasına yerleşimine barışçıl konfigürasyon diyelim. $k$ nın en büyük hangi pozitif tam sayı değeri için; $n$ kalenin her barışçıl konfigürasyonunda, üzerinde kale olmayan bir $k\times k$ karesi bulunur (yani bu $k\times k$ karesinin toplam sayısı $k^2$ olan birim karelerin hiçbirinde kale yoktur)?

Bir $ABCD$ konveks dörtgeninde $\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ$ dir. $A$ dan $BD$ ye çizilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $S$ ve $T$ noktaları sırasıyla $[AB]$ ve $[AD]$ kenarları üzerinde olmak üzere, $H$ noktası $SCT$ üçgeninin içinde ve $$\angle CHS - \angle CSB = 90^\circ, \quad \angle THC - \angle DTC = 90^\circ$$ ise, $BD$ doğrusunun $TSH$ üçgeninin çevrel çemberine teğet olduğunu gösteriniz.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üzerindeki $P$ ve $Q$ noktaları için $\angle PAB = \angle BCA$ ve $\angle CAQ = \angle ABC$ dir. $M$ ve $N$ noktaları sırasıyla $AP$ ve $AQ$ doğruları üstünde olmak üzere, $P$ noktası $[AM]$ nin ve $Q$ noktası $[AN]$ nin orta noktasıdır. $BM$ ve $CN$ doğrularının $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi üzerinde kesiştiklerini gösteriniz.

Cape Town bankası her $n$ pozitif tam sayısı için değeri $\frac 1n$ olan madeni paralar basmaktadır. Sonlu sayıda madeni paradan oluşan ve toplam değeri en fazla $99+\frac 12$ olan her madeni para koleksiyonunu (koleksiyonda değerleri aynı olan madeni paralar da bulunabilir) her birinin toplam değeri en fazla $1$ olan $100$ veya daha az sayıda gruba ayırabileceğimizi kanıtlayınız.

Düzlemde herhangi ikisi paralel olmayan ve herhangi üçü noktadaş olmayan doğrulara genel durum özelliği olan doğrular diyelim. Genel durum özelliği olan doğrular, düzlemi bazılarının alanları sonlu olan bölgelere ayırıyor; alanı sonlu olan her bölgeye sonlu bölge diyelim. $n$ nin yeterince büyük tüm değerleri için, genel durum özelliği olan herhangi $n$ doğrunun en az $\sqrt n$ tanesinin mavi renge; hiçbir sonlu bölgenin tüm sınırları mavi olmayacak biçimde boyanabileceğini gösteriniz.

Not: Soruyu $\sqrt n$ yerine $c\sqrt n$ için çözenlere $c$ sabitinin değerine göre puan verilecektir.