Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2011

Bir bardakta bulunan $100$ gram  şekerli suyun kütlece $\%98$'i sudur. Bir süre sonra suyun buharlaşması sonucu suyun kütlece oranı $\%96$'ya düştüğünde şekerli suyun kütlesi kaç gram olur?

$\textbf{a)}\ 50 \qquad\textbf{b)}\ 64 \qquad\textbf{c)}\ 95 \qquad\textbf{d)}\ 96 \qquad\textbf{e)}\text{Hiçbiri}\ $

$m\le n$ olmak üzere; en büyük ortak bölenleri $11$, toplamları da $165$ olan kaç tane $(m,n)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 8\qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 4\ $

$ABCD$ bir dışbükey dörtgen olmak üzere, $ABC$ üçgeninin iç bölgesindeki bir $E$ noktası $|BE| = |AD|$, $|AE| = |CD|$ ve $s(\widehat{AEB}) =s(\widehat{ADC})$ koşullarını sağlıyor. $s(\widehat{EAC}) = 30^\circ$ ve $s(\widehat{ACD}) = 40^\circ$ $s(\widehat{BCD})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 100^\circ\qquad\textbf{b)}\ 95^\circ \qquad\textbf{c)}\ 90^\circ\qquad\textbf{d)}\ 85^\circ \qquad\textbf{e)}\ 80^\circ\ $

$A$ ve $B$ harfleri rakamları belirtmek üzere, on tabanına göre yazılımı $3A4B$ olan bir sayının $45$ ile bölümünden kalanın $17$ olmasını sağlayan kaç $(A,B)$ ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\text{Hiçbiri}\ $

$\{50,100,1000,2000,2010,2011,2012,3000\}$ kümesinin üç elemanlı kaç altkümesinin elemanları toplamı $3$ ile bölünür?

$\textbf{a)}\ 30 \qquad\textbf{b)}\ 27 \qquad\textbf{c)}\ 24 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 18\ $

$s(\widehat{ABC})= 90^\circ$ olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde $[AC]$ köşegeninin orta noktası $E$'dir. $|AE| = |DE|$ ve $s(\widehat{ABD})= 20^\circ$ ise, $s(\widehat{AED})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 40^\circ\qquad\textbf{b)}\ 30^\circ \qquad\textbf{c)}\ 20^\circ\qquad\textbf{d)}\ 15^\circ \qquad\textbf{e)}\ 10^\circ\ $

$1^4 + 2^4 + \dots + 2011^4$ sayısının $16$ ile bölümünden kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 2\ $

Başlangıçta ellerinde $5, 10, 15, 20$ ve $25$ şeker bulunan beş öğrenciden her adımda biri elindeki şekerlerin bir kısmını diğer öğrenciler arasında eşit olarak paylaştırıyor. En az kaç adımda öğrencilerin ellerindeki şekerlerin sayısı eşitlenebilir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\ 8\ $

$|AB| = 16$ ve $|BC| = 24$ olan bir $ABC$ üçgeninin $B$ köşesine ait içaçıortayının üstündeki bir $D$ noktası $s(\widehat{BDC})= 90^\circ$ koşulunu sağlıyor. $[AC]$'nin orta noktası $E$ ise, $|DE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 2\ $

Bir küpün köşelerine tam sayılar; en çok kaç köşedeki sayı, bu köşeye bir ayrıtla bağlanan üç köşedeki sayların aritmetik ortalamasından küçük olacak biçimde yerleştirilebilir?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 4\ $

Ayşe bir kavanozdan her adımda kavanozdaki bilye sayısının bir fazlasının yarısı sayıda bilyeyi çıkarıyor. Kavanozu boşaltmak için Ayşe'nin bu işlemi beş kez tekrarlaması gerekiyorsa, başlangıçta kavanozda kaç bilye vardır?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 16 \qquad\textbf{c)}\ 31 \qquad\textbf{d)}\ 33 \qquad\textbf{e)}\ 37\ $

$E$, $ABCD$ paralelkenarının iç bölgesinde bir nokta olmak üzere; $AE$ doğrusu $[DC]$ kenarını $F$ noktasında, $CE$ doğrusu da $[AD]$ kenarını $G$ noktasında kesiyor. $|DF|/|FC| = 3/2,\ |DG|/|GA| = 3/5$ ve Alan$(AEG)$ $- $Alan$(CEF) = 9$ ise, Alan$(ABCD)$ nedir?

$\textbf{a)}\ 95 \qquad\textbf{b)}\ 90 \qquad\textbf{c)}\ 85 \qquad\textbf{d)}\ 80 \qquad\textbf{e)}\text{Hiçbiri}\ $

İstasyon saatinin her saat başı çaldığı bir istasyondan eşit zaman aralıklarıyla tren geçiyor. Cumartesi günü bir süre boyunca istasyonu seyreden Ali, bu süre boyunca iki trenin geçtiğini görüyor ve bir kez de saatin çaldığını duyuyor. Pazar günü ise, Ali daha uzun bir süre boyunca istasyonu seyrediyor. Ali bu süre boyunca on alt kez saatin çaldığını duyduysa, gördüğü tren sayısı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 16\qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 7 \qquad\textbf{e)}\text{Hiçbiri}\ $

Aşağıdaki hangi $(A,B)$ ikilisi için, $2x+y = A$ ve $x^2+y^2 = B$ eşitliklerini sağlayan hiçbir $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi yoktur?

$ \textbf{a)}\ \left (\dfrac{5}{2},\dfrac{9}{7}\right)  \qquad\textbf{b)}\ \left (1,\dfrac{2}{9}\right)   \qquad\textbf{c)}\ \left (\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}\right)   \qquad\textbf{d)}\ \left (\dfrac{9}{5},\dfrac{2}{3}\right)   \qquad\textbf{e)}\ \left (2,\dfrac{6}{7}\right)  $

Kenar uzunluğu $5$ birim olan $ABCD$ karesinin $[AB], [BC], [CD], [DA]$ kenarlar üstünde $|AE| = |BF| = |CG| = |DH| = 3$ olacak biçimde sırasıyla, $E, F, G, H$ noktalar alınıyor. $A, B, C, D$ noktalarından geçen çemberin sınırladığı dairenin alanının, $EFGH$ karesine içten teğet olan çemberin sınırladığı dairenin alanına oranı kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac{13}{5}\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{40}{13} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{45}{13} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{13}{4} \qquad\textbf{e)}\text{Hiçbiri}\ $

Aşağıdaki sayıların en küçüğü hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt 3}{6}\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt 10}{11} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt5-2 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{4} \qquad\textbf{e)}\ {3\sqrt 2}-{4}\ $

$16^{2011}$ sayısının on tabanına göre yazılımında onlar basamağındaki rakam aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 1\ $

$[AB]$ ve $[CD]$ bir çemberin farklı çapları olmak üzere, $D$'den bu çembere çizilen teğet $AB$ doğrusunu $B$'ye göre $A$ ile farklı tarafta yer alan bir $E$ noktasında, $BC$ doğrusunu $F$ noktasında kesiyor. $|EB|/|AB| = 5/2$ ve $|DF| = 4$ ise, $|EF|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 10\ $

$r$ pozitif gerçel sayısı $2r-\dfrac{3}{2r + 4}= 4$ eşitliğini sağlıyorsa, $r +\dfrac{3}{4r + 8}$ nedir?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt5-2 \qquad\textbf{b)}\ \sqrt6 \qquad\textbf{c)}\ \sqrt19-2 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt5 \qquad\textbf{e)}\ \sqrt18-2\ $

$2,3,\dots  ,2011$ tam sayılarından kaç tanesi karekökünden küçük olan en büyük tam sayı ile bölünür?

$\textbf{a)}\ 44\qquad\textbf{b)}\ 88 \qquad\textbf{c)}\ 89 \qquad\textbf{d)}\ 130 \qquad\textbf{e)}\ 131\ $

$AB//CD$ olmak üzere, $ABCD$ yamuğunun tüm kenarlarına teğet olan bir çember $[AB]$'ye $E$, $[CD]$'ye de $F$ noktasında değiyor. $|AE|=5$, $|CF|=3$ ve $|FD|=2$ ise $|BE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{15}{2} \qquad\textbf{b)}\ 4\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{10}{3}\qquad\textbf{d)}\ 3\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$pqr=2pr+qr+10p$ eşitliğini sağlayan kaç $(p,q,r)$ asal sayılar üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 5\qquad\textbf{b)}\ 4\qquad\textbf{c)}\ 3\qquad\textbf{d)}\ 2\qquad\textbf{e)}\ 1$

4 siyah, 4 beyaz ve 4 kırmızı top, iki kırmızı top yan yana gelmemek koşuluyla kaç farklı biçimde sıralanabilir?

$\textbf{a)}\ 8084\qquad\textbf{b)}\ 8284\qquad\textbf{c)}\ 8642\qquad\textbf{d)}\ 8742\qquad\textbf{e)}\ 8820$

$AB$ doğrusu üstünde ve $B$ noktasına göre $A$ ile farklı tarafta yer alan $E$ noktasından geçen bir doğru $ABCD$ dikdörtgeninin $[BC]$ kenarını $P$, $[AD]$ kenarını da $Q$ noktasında kesiyor. $|AB|=1$, $|BE|=3$, $|AD|=5$ ve $PCDQ$ yamuğunun alanı $PQAB$ yamuğunun alanının iki katı ise, $|BP|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{7}{5}\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{4}{3}\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5}{3}\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{10}{7}\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Kaç $n$ tam sayısı için, $|n^3-6n^2+5|$ sayısı asaldır?

$\textbf{a)}\ 4\qquad\textbf{b)}\ 3\qquad\textbf{c)}\ 2\qquad\textbf{d)}\ 1\qquad\textbf{e)}\ 0$

$m\le k$ olmak üzere, $100\times 100$ bir satranç tahtasının $m$ birim karesine mavi, $k$ birim karesine de kırmızı birer taş, hiçbir satır ya da hiçbir sütunda farklı renkte iki taş yer almayacak biçimde yerleştirilmişse, m en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 5000\qquad\textbf{b)}\ 3500\qquad\textbf{c)}\ 2500\qquad\textbf{d)}\ 1000\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$E$ ve $F$, $ABCD$ dışbükey dörtgeninin sırasıyla, $[BC]$ ve $[AD]$ kenarları üstünde yer alan köşelerden farklı noktalar olmak üzere; hem $A,B,E,F$ noktaları, hem de $C,D,F,E$ noktaları çemberdeştir. $|AC|=4$, $|AB|+|CD|=5$ ve $s(\widehat{BAC})= 60^\circ$ ise, $|BD|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \sqrt{21}\qquad$ $\textbf{b)}\ \sqrt{20}\qquad $ $\textbf{c)}\ \sqrt{18}\qquad$ $\textbf{d)}\ 4\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $

Başlangıçta tahtada bir $n$ tamsayısı yazılıdır. İki oyuncu sırayla hamle yaparak; her hamlede tahtadaki sayıyı silip yerine o sayıdan büyük olan, ama o sayının iki katını aşmayan bir tamsayı yazıyorlar. Tahtaya $2011$ yazan oyuncu oyunu kazanıyor. Oyun $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16$ değerlerinin her biri için birer kez oynanırsa, bu oyunların kaçını oyuna başlayan oyuncu kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 13\qquad\textbf{b)}\ 7\qquad\textbf{c)}\ 3\qquad\textbf{d)}\ 1\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$x,y,z,t$ gerçel sayılar olmak üzere $x^2+y^2+z^2+t^2-xy-yz-zt-10t$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -34\qquad\textbf{b)}\ -37\qquad\textbf{c)}\ -40\qquad\textbf{d)}\ -42\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Köşeleri bir çember üstünde yer alan $ABCD$ dışbükey dörtgeninin köşegenleri $E$ noktasında kesişiyor. $|AC|=16, |BD|=12$ ve $\widehat{CED}$ açısının ölçüsü ile $\widehat{BC}$ yayının ölçüsünün toplamı $90^\circ$ ise, çemberin yarıçapı nedir?

$\textbf{a)}\ 14\qquad\textbf{b)}\ 12\qquad\textbf{c)}\ 11\qquad\textbf{d)}\ 10\qquad\textbf{e)}\ 9$