Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2012 Çözümleri

$x$ pozitif gerçel sayısının $\%15$'i ve $\%66$'sı tam sayıdır. $x$ sayısının $\%15$'i en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 3 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$x\cdot\dfrac{15}{100}=x\cdot\dfrac{3}{20} \in\mathbf N \Longrightarrow x=\dfrac{20a}{3}, a\in\mathbf N$

$x\cdot\dfrac{66}{100}=x\cdot\dfrac{33}{50} \in\mathbf N \Longrightarrow x=\dfrac{50b}{33}, b\in\mathbf N$

$\Longrightarrow \dfrac{20a}{3}=\dfrac{50b}{33} \Longrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{5}{22} \Longrightarrow a=5c, b=22c, c\in\mathbf N$

$\Longrightarrow x=\dfrac{20a}{3}=\dfrac{50b}{33}=\dfrac{100c}{3}$

$\Longrightarrow x\cdot\dfrac{15}{100}=\dfrac{100c}{3}\cdot\dfrac{15}{100}=5c\geq5$

$\{1, 2\ldots ,17\}$ kümesinin farkları $4$ olan herhangi iki eleman içermeyen kaç alt kümesi vardır?

$\textbf{a)}\ 3490\qquad \textbf{b)}\ 6480\qquad \textbf{c)}\ 6656\qquad \textbf{d)}\ 6966\qquad \textbf{e)}\ 8264\qquad$

$|AB| = 4$, $|BC| = 3$ ve $s(\widehat{ABC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $B$ köşesine ait yüksekliğin ayağı $D$ noktası ve $D$ den $[BC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı da $E$ noktası ise, $|BE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{48}{25} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{36}{25} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{12}{25} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{12} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Pisagor Teoremi uygulanırsa $|AC|=5$ bulunur. $ABC$ üçgeninin alanı iki farklı yoldan hesaplanırsa, $\dfrac{|AB|\cdot|BC|}{2}=\dfrac{|AC|\cdot|BD|}{2} \Longrightarrow |BD|=\dfrac{5}{12}$'dir.
$BDC$ dik üçgeninde Öklid Bağıntısı uygulanırsa, $|BD|^2=|BE|\cdot|BC| \Longrightarrow |BE|=\dfrac{48}{25}$ bulunur.

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ rakamlarının her birini bir kez kullanarak $11$ ile bölünen yedi basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

$\textbf{a)}\ 720\qquad \textbf{b)}\ 576\qquad \textbf{c)}\ 432\qquad \textbf{d)}\ 288\qquad \textbf{e)}\ 144\qquad$

$x$ pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı $2$'den, $y$ pozitif gerçel sayısının tam sayı ve kesirli kısımlarının çarpımı da $3$'ten küçük değilse, $xy$ en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{183}{11} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{209}{12} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{245}{14} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{231}{13} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{271}{15}$

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenar üstündeki $D$ noktası ve $[AC]$ kenarı üstündeki $E$ noktası için, $s(\widehat{AED}) = s(\widehat{ABC})$, $|AE|= 2$, $|AD| = 5$ ve $|BD| = 3$ ise, $|CE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 18 \qquad\textbf{d)}\ 21 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Dördü beyaz, dördü kırmızı tişört giyen $8$ öğrenci ikişer kişilik dört sıraya farklı renkte tişört giyen $2$ öğrenci aynı sırada oturmamak koşuluyla kaç farklı biçimde oturabilir ?

$\textbf{a)}\ 1728 \qquad\textbf{b)}\ 2304 \qquad\textbf{c)}\ 2880 \qquad\textbf{d)}\ 3456 \qquad\textbf{e)}\ {9216}$

Tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin on tabanına göre yazılımının son iki basamağı aynı olan kaç tane iki basamaklı sayı vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$s(\widehat{BAC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarına ait bir $D$ noktası için, $BD$ doğrusu ile $[AH]$ yüksekliği $E$ noktasında kesişiyor. $|BH| = 3$, $|CH| = 12$ ve $|EH| = 2|EA|$ ise, $|DE|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{32}{19} \qquad\textbf{b)}\dfrac{30}{17} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{23}{13} \qquad\textbf{d)}\ 2\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{20}{11}$

Çözüm:

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt: $\boxed{E}$

$ABC$ üçgeninde Öklid uygulanırsa $|AH|=6$ ve dolayısıyla $|AE|=2$ ve $|EH|=4$ bulunur. $H$ tan $BD$ ye paralel çizelim. $|AC|$ yi $G$ de kessin. $|HG|=12x$ olsun. Benzerlikten $|BD|=15x$ olacaktır. Yine benzerlikten $|ED|=4x$ ve $|BE|=11x$ olacaktır. $BHE$ üçgeninde pisagordan $|BE|=5$ olacağı için $11x=5$ ve $x=\dfrac{5}{11}$ bulunur. Sonuç olarak $|DE|=4x=\dfrac{20}{11}$ olur.

$\sqrt {n+9-6\sqrt n}+\sqrt {n+25-10\sqrt n} = 2$ denklemini sağlayan $n$ tam sayılarının toplamı nedir?

$\textbf{a)}\ 228\qquad \textbf{b)}\ 231\qquad \textbf{c)}\ 242\qquad \textbf{d)}\ 255\qquad \textbf{e)}\ 289\qquad$

$18$ takımın katıldığı bir futbol turnuvasında herhangi iki takım tam olarak bir kez karşılaşıyor ve kazanan takım $3$, berabere kalan takımlar $1$'er, kaybeden takım $0$ puan alıyor. Turnuva sona erdiğinde oluşan puan sıralamasında ardışık sıralar arasında yer alan iki takım arasındaki puan farkı en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 32 \qquad\textbf{b)}\ 33 \qquad\textbf{c)}\ 34 \qquad\textbf{d)}\ 35 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$s(\widehat{ABC})=50^\circ$ olan bir ABC üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesen doğru, üçgenin çevrel çemberine $A$ noktasında teğet olan doğruya paraleldir. $s(\widehat{EDC})=20^\circ$ ise, $s(\widehat{DBE})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 15^\circ \qquad\textbf{b)}\ 20^\circ \qquad\textbf{c)}\ 25^\circ \qquad\textbf{d)}\ 30^\circ \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $2^n + 3^n + 4^n$ saysının on tabanına göre yazılmının sondan en çok kaç basamağı $9$ olabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$

$A$ gerçel sabitinin kaç farklı değeri için, $x^3 + y^3 = 5xy$ ve $x + y = A$ eşitliklerinin her ikisini de sağlayan tam olarak bir $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 5\qquad\textbf{b)}\ 4 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ 1 $

Çözüm:

(Mehmet Utku Özbek)

Yanıt:$\boxed{D}$

İlk denklemde $x^3+y^3$ olduğu için ikinci denklemin küpünü almak çok mantıklı: $(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=A^3$ $\Rightarrow 5xy+3xy(A)=xy(3A+5)=A^3$.
Şimdi $xy$'yi $A$ cinsinden yazalım. $x+y=A$ olduğu için A.G.O uygulamak oldukça makul duruyor: $\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy} \Rightarrow \dfrac{A}{2}\ge\sqrt{xy} \Rightarrow \dfrac{A^2}{4}\ge{xy}$.
Buna göre $(A^2)(3A+5)\ge{4A^3} \Rightarrow 0\ge(A^2)(A-5)$ olur. Yalnız bir çözüm olması için eşitlik durumu olmalıdır. O zaman $A=0$ veya $A=5$, yani $2$ tane $A$ değeri için denklem sisteminin tam olarak bir çözümü vardır.

$|AB| = 2$ ve $|AD| = 2\sqrt2$ olan bir ABCD dikdörtgeninde $[AD]$'nin orta noktası $E$, $[AE]$'nin orta noktası da $F$'dir. $AC$ ve $BE$ doğruları $G$ noktasında kesişiyorsa, $FG$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{\sqrt2}\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt3}{2} \qquad\textbf{c)}\ 1 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt2 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed{A}$

$E, [AD]$'nin orta noktası olduğundan $|AE|=\sqrt2$ ve $F, [AE]$'nin orta noktası olduğundan $|AF|=|FE|=\dfrac{1}{\sqrt2}$'dir.
$|AE|=\sqrt2, |BC|=2\sqrt2$ ve $AE//BC$ olduğundan Papyon Kuralı gereği $\dfrac{|AG|}{|GC|}=\dfrac{|EG|}{|GB|}=\dfrac{1}{2}$'dir.
Pisagor Teoremi uygulanırsa, $|EB|=\sqrt6$ ve $|AC|=2\sqrt3$ bulunur. Belirtilen orantı gereği $|AG|=\dfrac{2\sqrt3}{3}, |GC|=\dfrac{4\sqrt3}{3}, |EG|=\dfrac{\sqrt6}{3}, |GB|=\dfrac{2\sqrt6}{3}$'tür.
$AGE$ üçgenine bakılırsa, $|AG|^2+|GE|^2=\dfrac{12}{9}+\dfrac{6}{9}=\dfrac{18}{9}=2$ ve $|AE|^2=2$ olduğundan Pisagor Bağıntısı'nı sağlar. Dolayısıyla $\angle AGE=90^{\circ}$'dir.
$GF, [AE]$ hipotenüsünün kenarortayı olduğundan muhteşem üçlü oluşturur. Dolayısıyla $|FG|=|AF|=|FE|=\dfrac{1}{\sqrt2}$'dir.

Çözüm 2:

$\triangle ABE \sim \triangle BCA$ $(KAK)$
$\angle ABG = \angle ACB \Longrightarrow \angle AGB =90^\circ$.
$AF=FE=FG= \dfrac {AE} 2= \dfrac 1 {\sqrt 2}$.

Ahmet $30$ şekeri, herhangi $2$ günde yediği şeker sayısının farkı $3$'e bölünmemek koşuluyla üç günde kaç farklı biçimde yiyebilir?

$\textbf{a)}\ 330 \qquad\textbf{b)}\ 300 \qquad\textbf{c)}\ 275 \qquad\textbf{d)}\ 240 \qquad\textbf{e)}\ {165}$

Bir pozitif tam sayının basamak sayısı ile küpünün basamak sayısının toplamı $2012$'den büyük olmayan kaç farklı değer alabilir?

$\textbf{a)}\ 1509 \qquad\textbf{b)}\ 1342 \qquad\textbf{c)}\ 1006 \qquad\textbf{d)}\ 671 \qquad\textbf{e)}\ 503$

.Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarına $D$ noktasında, $AC$ doğrusuna da $A$ noktasında teğet olan bir çember $[AB]$ kenarını $E$ noktasında kesiyor. $|BD|/|AC| = 2$ ve $|AE|/|BD| = 5/6$ ise, $AD$ ve $CE$ doğrularının kesişim noktası $F$ için, $|AF|/|FD|$ nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{5}{2}\qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{16}{5} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{15}{4}$

$x$ ve $y$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} +\dfrac{x^2}{y^2}+ \dfrac{y^2}{x^2}=18$ ise $\dfrac{(x-y)^2}{xy}$ nedir?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 2$

Bir çember etrafına yazılmış hepsi $0$ olmayan $n$ tane sayının her biri iki komşusunun toplamına eşitse, $n$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$\textbf{a)}\ 2012 \qquad\textbf{b)}\ 2013 \qquad\textbf{c)}\ 2014 \qquad\textbf{d)}\ 2015 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Düzlemdeki noktalardan oluşan bir $A$ kümesindeki her nokta için, o nokta merkezli ve birim yarıçaplı çember $A$'nın tam olarak $3$ noktasından geçiyorsa, $A$'nın en az kaç elemanı olabilir?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 10 \qquad\textbf{c)}\ 8 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 5$

$7\cdot 2^n+1$'in tam kare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$2x^2-4xy+5y^2=4x+2y-5$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

$2x^2-4xy+5y^2=4x+2y-5 \Longrightarrow (x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)+(x^2+4xy+4y^2)=0 \Longrightarrow (x+2)^2+(y-1)^2+(x+2y)^2=0$
Tamkarelerin toplamının $0$ olması, her birinin $0$ olmasıyla mümkündür.
O halde $x=-2, y=1, x=-2y$ olmalıdır ve üç eşitlik de sağlandığından eşitliği sağlayan $(-2,1)$ olmak üzere bir tane $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır.

Köşeleri, kenar uzunlukları $|AB| = 10, |BC| = 21$ ve $|CA|=\sqrt {205}$ olan bir $ABC$ üçgeninin kenarları üstünde yer alan ve çevresi $32$ birim olan bir dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu kaç birimdir?

$\textbf{a)}\ 11 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{43}{3}\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{29}{2}$

Her hamlede başlangıçta her birinde eşit sayıda şeker olan $n$ öğrenciden biri elindeki şekerlerin bır kısmını diğer öğrencilere eşit olarak dağıtıyor. $n$'nin kaç farklı değeri için, sonlu sayıda hamle sonucunda öğrencilerden birinin elinde $36$, bir diğerinin elinde de $21$ şeker bulunması sağlanabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$a^2+a+34=b^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 0$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Eşitliği $4$ ile çarpalım ve tamkare ifadeleri ayıralım, $$4a^2+4a+136=4b^2 \Longrightarrow (2a+1)^2+135=(2b)^2$
$\Longrightarrow (2b)^2 - (2a+1)^2=135 \Longrightarrow (2b+2a+1)\cdot(2b-2a-1)=135$$
$a,b\in\mathbf Z^+$ olduğundan $2b+2a+1$'nin pozitif ve $2b-2a-1$'den büyük olduğu açıktır. Ayrıca $(2b+2a+1)+(2a-2b-1)=4b$ olduğundan,
$135=135\cdot1=45\cdot3=27\cdot5=15\cdot9$ şekilde $4$ çarpan çifti oluşturulabilir. Oluşan $(a,b)$ ikilileri ise $(33,34), (10,12), (5,8), (1,6)$ olmak üzere $4$ tanedir.

$C$, $[AB]$ çaplı çemberin dış bölgesinde yer alan bir nokta olmak üzere, $AC$ ve $BC$ doğrular çemberi ikinci kez sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $AE$ ve $BD$ doğrularının kesişim noktası $F$, $AB$ ve $CF$ doğrularının kesişim noktası da $G$ olmak üzere, $|AF| = 12$ ve $s(\widehat{EDC})=60^\circ$ ise, $|AG|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 5\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 7\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ 8\sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

$3x+2y+z=12$ koşulunu sağlayan $x,y,z$ negatif olmayan gerçel sayıları için, $x^3+y^2+z$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1111}{108} \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 9 \qquad\textbf{d)}\ 7 \sqrt[3]{2} \qquad\textbf{e)}\ 5 \sqrt{3}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

AGO dan $x^3+1+1\ge 3x$, $y^2+1\ge 2y$ olduğundan $x^3+y^2+z\ge (3x-2)+(2y-1)+z=9$.

$1\times 17$ bir satranç tahtasının karelerine $1,2,\ldots ,17$ sırayla ve 1'den sonraki her sayı daha önce yazılmış sayılardan birine komşu olmak koşuluyla kaç farklı şekilde yazılabilir?

$\textbf{a)}\ 45680 \qquad\textbf{b)}\ 65536 \qquad\textbf{c)}\ 70246 \qquad\textbf{d)}\ 81246\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[AD]$, $[BE]$ ve $[CF]$ yükseklikleri $H$ noktasında kesişiyor. $|AH|\cdot |AD|+|BH|\cdot |BE|+|CH|\cdot |CF| = 71$ ve $|AB|^2 + |AC|^2 = 106$ ise, $|BC|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 8 \qquad\textbf{c)}\ 7 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 5$

Çözüm:

$AEHF , BFHD , CDHE$ kirişler dörtgenidir. $A,B,C$ noktalarının bu çemberlere göre kuvvetlerini yazalım.

$$AH \cdot AD = AF \cdot AB = AE \cdot AC \tag{1}$$ $$BH \cdot BE = BF \cdot AB = BD \cdot BC \tag{2}$$ $$CH \cdot CF = CE \cdot AC = CD \cdot BC \tag{3}$$
Bu sistemin ikinci ve üçüncü sütunlarındaki ifadeleri toplayalım.

$AB (AF+BF) + BC(BD+CD) + AC(AE+CE) = 2(AH \cdot AD + BH \cdot BE + CH \cdot CF)$

buradan,

$AB^2+BC^2+AC^2=142 \Rightarrow BC^2=142-106=36 \Rightarrow BC=6$