Tübitak Ortaokul 1. Aşama - 2014 Çözümleri

$|AB|=|AC|=12$ ve $|BC|=4$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait iç açıortayın $[AB]$ kenarını kestiği nokta $D$ ve $[AC]$ kenarının orta noktası $E$ ise, $|DE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3\sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{15}
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{13}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed {B}$

İç açıortay teoreminden $\dfrac{|AD|}{|BD|}=\dfrac{12}{4}$ olup $|AD|=9, |BD|=3$ bulunur. Ayrıca iç açıortayın uzunluğu formülüne göre $|CD|^2=12\cdot4-9\cdot3=21$ dir. $ACD$ üçgeninde kenarortay teoreminden $2|DE|^2=21+9^2-\dfrac{12^2}{2}$ olup $|DE|=\sqrt{15}$ elde edilir.

$3x^2y^3+y^3-21x^2=35$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$y^3$ lü ifadeyi yalnız bırakalım. $y^3=\dfrac{21x^2+35}{3x^2+1}=7+\dfrac{28}{3x^2+1}$ olur. Bu durumda $3x^2+1 \in \{ 1,2,4,7,14,28\}$ dir. Her bir durumu denersek yalnızca $3x^2+1=28$ durumu mümkün, diğerleri muhaldir. Buradan $(3,2),(-3,2)$ çözüm çiftleri bulunur.

En az birer beyaz top içeren iki kutudan birincisindeki beyaz topların sayısı kırmızı topların sayısından $ \%25$ daha az, ikici kutudaki beyaz topların sayısı da kırmızı topların sayısından $\%20$ daha fazladır. İki kutudaki toplam beyaz top sayısı toplam kırmızı top sayısından $\%5$ daha fazla ise, toplam beyaz top sayısı toplam kırmızı top sayısından en az kaç tane fazla olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

Verilen yüzdelere göre birinci kutuda $3x$ tane beyaz, $4x$ tane kırmızı top vardır. İkinci kutuda ise $6y$ tane beyaz, $5y$ tane kırmızı top vardır. Burada $x$ ve $y$ birer pozitif tam sayıdır. Toplam beyaz top sayısı $3x+6y$, toplam kırmızı top sayısı $4x+5y$ olduğundan $\dfrac{3x+6y}{4x+5y}=\dfrac{105}{100}$ yazılır. Bu denklem düzenlenirse $5y=8x$ bulunur. Bizden istenen en küçük değeri elde etmek için $x,y$ nin en küçük değerlerini kullanırız. $x=5,y=8$ için

$\text{Beyazların Sayısı}-\text{Kırmızıların Sayısı}=(3x+6y)-(4x+5y)=y-x=8-5=3$ elde edilir.

$2014$ negatif olmayan gerçel sayı bir çemberin etrafına herhangi ardışık dördünün toplamı $19$ olacak biçimde yazılmışsa, bu sayılardan en büyüğü en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{19}{4}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{19}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{21}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 18
\qquad\textbf{e)}\ 19
$

Çözüm:

Cevap: $\boxed B$

(Egemen Erbayat)
Sayılarımız $\ldots a_1,a_2,\ldots, a_{2014}$ olsun. $a_1+a_2+a_3+a_4=a_2+a_3+a_4+a_5$
$a_n=a_{n+4m}$ , $ a_{2013}+a_{2014}+a_1+a_2=19$ $ a_1=a_{2013}$, $ a_2=a_{2014}$ $2(a_1+a_2)=19$ $(a_1+a_2)=\frac{19}{2}$ $max(a_n) $ için $a_{n-1}=0 $ olmalıdır. $ a_1=0 \Rightarrow a_2= \frac{19}{2}$

$|AB|=9$ ve $|BC|=8$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninin $[AB]$ ve $[AD]$ kenarlarına teğet olup $C$ köşesinden geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

Çemberin $[AB]$'yi kestiği nokta $E$, $[AD]$'yi kestiği nokta $F$ olsun. Merkez ile teğet noktasını birleştiren doğru teğeti dik kestiğinden $E$'den geçen ve $AB$'ye dik olan doğru ile $F$'den geçen ve $AD$'ye dik olan doğrunun kesişim noktası olan $O$, çemberin merkezidir.
$|AE|=|AF|$ olduğundan $AEOF$ karedir. Çemberin yarıçapına $r$ denirse, $|EB|=9-r, |FD|=8-r$ olur. $[FO$, $[BC]$'yi $G$'de kessin. $EBGO$ ve $FGCD$ dikdörtgen olduğundan $|OG|=9-r, |GC|=8-r$ olur. $|OC|=r$'dir ve $OGC$ üçgeninde Pisagor Teoremi yazılırsa, $(9-r)^2+(8-r)^2=r^2 \Rightarrow r^2-34r+145=0 \Rightarrow (r-29)(r-5)=0$ olur. $r=29$ için $OGC$ üçgeninin kenarlarının uzunlukları negatif çıkacağı için $r=5$'tir.

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $6n+15$ ve $10n +21$ sayılarının en büyük ortak böleni kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed{A}$

Sayıların ikisinin de tek sayı olduğu açıktır.Buna göre ortak bölen de tek sayıdır. $(6n+15,10n+21)=p$ diyelim.

$p \mid 6n+15 $ ve $p \mid 10+21$ ise $p \mid 5(6n+15)-3(10n+21) \Rightarrow p \mid 12$

$12$ nin tek sayı bölenleri $1$ve $3$ olup iki tanedir.

Çözüm 2:

Yanıt: $\boxed{A}$
Benzer sonuca Euclid Algoritması ile ulaşabiliriz:
$d=(6n+15,10n+21)=(6n+15,4n+6)=(2n+9,4n+6)=(2n+9,-12)$ olup $d \in \{ 1,2,3,4,6,12 \}$ dir. $d$ bir tek sayı olduğundan $d=1$ veya $d=3$ olabilir.

$5^xx^2+125=5^{x+2}+5x^2$ denklemini sağlayan kaç $x$ gerçel sayısı vardır?
$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

Verilen ifadeyi düzenleyerek $(5^x-5)(25-x^2)=0$ şeklinde yazabiliriz. Eşitliğin sağlanması için herhangi bir çarpanın sıfıra eşit olması yeterlidir.
O halde, $5^x=5 \Rightarrow x=1$ ve $x^2=25 \Rightarrow x = \pm5$ olup $3$ gerçel çözüm vardır.

Dört basamaklı pozitif tam sayılardan kaç tanesinin her bir basamağı asal sayı ve basamakları toplamı çifttir?
$
\textbf{a)}\ 136
\qquad\textbf{b)}\ 144
\qquad\textbf{c)}\ 150
\qquad\textbf{d)}\ 168
\qquad\textbf{e)}\ 172
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Kullanacağımız rakamlar $2,3,5,7$ ve basamaklar toplamı çift olacağından $2$ rakamını iki veya dört basamakta kullanmalıyız.Bu şartlar altında,
Dört basamağı aynı olan; $\dbinom{4}{1}=4$

Üç basamağı aynı olan; $\dbinom{3}{2}\cdot2!\cdot \dfrac{4!}{3!}=24$

İki basamağı aynı olan; $\dbinom{4}{2}\cdot \dfrac{4!}{2!}=72$

İkişer basamağı aynı olan; $\dbinom{4}{2} \cdot \dfrac{4!}{2!\cdot 2!}=36$

ve toplam da $4+24+72+36=136$ sayı yazılabilir.

$|AB|=32$ olmak üzere, $[AB]$ ye ve $[AB]$ çaplı $C_1$ çemberine içten teğet olan $C_2$ çemberinin yarıçapı $8$ birimdir. $[AB]$ ye, $C_2$ ye dıştan ve $C_1$ e içten teğet olan ve $AB$ doğrusuna göre $C_2$ ile aynı tarafta yer alan çemberin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$8^{49}$ sayısının $343$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 50
\qquad\textbf{d)}\ 64
\qquad\textbf{e)}\ 99
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Binom açılımından faydalanarak

$(7+1)^{49} = \underset{\equiv 0 \pmod{7^3}}{\underbrace{7^{49}+ \dbinom{49}{1}7^{48}+ \cdots+\dbinom{49}{47}7^2+\dbinom{49}{48}7^1}}+1 \equiv 1 \pmod{7^3}$

Bir matematik testindeki sorulardan Aslı'nın doğru yanıtladıklarının sayısı Banu'nun doğru yanıtladıklarının sayısının $7$ katı, Banu'nun yanlış yanıtladıklarının sayısı da Aslı'nın yanlış yanıtladıklarının sayısının $5$ katıdır. Her iki öğrenci de testteki tüm soruları yanıtladıklarına göre, ikisinin de yanlış yanıtladığı soruların sayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Çözüm:

Cevap:$ \boxed A$

Aslı $7k$ doğru $n$ yanlış yapmışsa Banu $k$ doğru $5n$ yanlış yapar. $7k+n=k+5n \Rightarrow 3k=2n$'dir
$n=3, k=2$ için soru sayısı en az $17$ olur. Banu $15$ ,Aslı $3$ ve toplamda $18$ yanlış yapmış olurlar , $17$ soru olduğu için ortak yanlışları vardır. Bunun sayısıda en az $1$ dir

Altı tane $1$ ve beş tane $2$ rakamı kullanılarak yazılan $11$ basamaklı pozitif tam sayılardan kaç tanesinin herhangi ardışık beş basamağında en az üç tane $1$ vardır?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 16
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

Aşağıdakilerden hangisi düzlemdeki beş doğrunun kesişim noktalarının kümesinin eleman sayısı olamaz?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

$2^{2014}+3^{2014}+4^{2014}+5^{2014}+6^{2014}$ toplamının $13$ ile bölümünden kalan nedir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Çözüm 1:

yanıt: $\boxed{A}$

fermat teoremine göre, $2^{12} \equiv 3^{12} \equiv 4^{12} \equiv 5^{12} \equiv 6^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ dür.

Buna göre, $2^{2014}+3^{2014}+4^{2014}+5^{2014}+6^{2014} \equiv 2^{10}+3^{10}+4^{10}+5^{10}+6^{10} \equiv 4^4+(-4)^5+3^5+(-1)^5+(-3)^5 \equiv -1 \equiv 12 \pmod{13}$

Çözüm 2:

$2^{2014}+3^{2014}=4^{1007}+9^{1007}=(4+9)(4^{1006}- \cdots +9^{1006})$ ve

$4^{2014}+6^{2014}=16^{1007}+36^{1007}=(16+36)(16^{1006}- \cdots + 36^{1006})$ olduğundan her iki toplamda $13$ ile bölünür.

O halde, $5^{2014}=25^{1007} \equiv (-1)^{1007} \equiv -1 \equiv 12 \pmod{13}$ dir.

Toplamları $n$ ve kareleri toplamı $n+19$ olan iki gerçel sayı bulunmasını sağlayan en büyük $n$ pozitif tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$a,b \in \mathbb{R} ,a+b=n$ ve $a^2+b^2=n+19$ alalım.
Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden, $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2) \Rightarrow n^2 \leq 2n+38 \Rightarrow n^2-2n \leq 38$ eşitsizliğini sağlayan en büyük $n$ pozitif tam sayısı $7$ dir.

$\{ 1,2, \dots , 33 \}$ kümesinin $k$ elemanlı her altkümesinde biri diğerinin iki katı olan iki eleman bulunuyorsa, $k$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 22
\qquad\textbf{c)}\ 23
\qquad\textbf{d)}\ 24
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$A= \left \{1,2,\cdots,33 \right \}$ kümesindeki elemanların, ortanca değerinden kümeyi parçalayalım.

$A_{1}= \left \{33,32,\cdots,18,17 \right \}$ ve $A_{2}= \left \{16,15, \cdots ,2,1 \right \}$ olur. $A_{1}$ kümesindeki elemanların yarısına eşit elemanlar $A_{2}$ kümesindedir.

Aynı yöntemle $A_{2}$ kümesinin parçalanışı,

$A_{2} \rightarrow A_{3}= \left \{16,15, \cdots ,10,9 \right \}$ ve $A_{4}= \left \{8,7, \cdots ,2,1 \right \}$ kümeleri şeklindedir.

Benzer şekilde oluşacak diğer kümelerin parçalanışı aşağıdaki gibi olacaktır.

$A_{4} \rightarrow A_{5}= \left \{8,7,6,5 \right \} ,A_{6}= \left \{4,3,2,1 \right \}$

$A_{6} \rightarrow, A_{7}= \left \{4,3 \right \}, A_{8}= \left \{2,1 \right \}$

$A_{8} \rightarrow A_{9}= \left \{2 \right \} , A_{10}= \left \{1 \right \}$

$A_{1}\cup A_{5}\cup A_{9} = \left \{2,5,6,7,8,17,18,\cdots,32,33 \right \}$ kümesindeki elemanların hiçbiri diğerinin iki katı değildir.$s(A_{1}\cup A_{5}\cup A_{9})=22$ olduğundan istenen şarta uygun küme en az $23$ elemanlı olmalıdır.

$AB // CD $ olmak üzere, bir $ABCD$ yamuğunun sırası ile $[AD]$ ve $[BC]$ kenarları üzerinden alınan $E$ ve $F$ noktaları için $ EF // AB $ dir. $|AB|=33$, $|CD|=9$ ve $ABFE$ yamuğunun alanı $CDEF$ yamuğunun alanının altı katı ise, $|EF|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 11
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 13
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

$(n-1)^3(n+1)^4$ ifadesinin $2^{19}$ ile tam bölünebilmesini sağlayan $2014$ ten küçük kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 72
\qquad\textbf{b)}\ 175
\qquad\textbf{c)}\ 188
\qquad\textbf{d)}\ 212
\qquad\textbf{e)}\ 216
$

$a+b+c+d+e+f=9$ koşulunu sağlayan $a,b,c,d,e,f$ tam sayıları için, $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 19
\qquad\textbf{b)}\ 17
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed{C}$

$a^2+b^2+c^2+d^2+f^2=S$ diyelim. Karesel-Aritmetik Ortalama Eşitsizliği kullanılırsa, $\sqrt{\dfrac{S}{6}}≥\dfrac{9}{6}$, karesi alınıp düzenlenirse $S≥13,5$ bulunur. $a=b=c=2$ ve $d=e=f=1$ için $S=15$ sağlanır.
Öte yandan, $(a+b+c+d+e+f)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+2(ab+ac+...+ef)$ yani $81-S=2(ab+ac+...+ef)$ eşitliğinde $a,b,c,d,e,f$ tamsayı olduğu için $S$ tek sayı olmalıdır. Yani $S$'nin en küçük değeri $15$'tir.

Çözüm 2:

(Egemen Erbayat)

Cevap:$ \boxed C $

$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2$ en küçük değeri için sayıların hepsinin pozitif sayılar olması gerekir.
$a_1+1=a$, ($a_1$ doğal sayıdır.)( $b$,$c$,$d$,$e$,$f$ için de geçerlidir.)
$a_1+1+b_1+1+c_1+1+d_1+1+e_1+1+f_1+1=9$
$a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1=3$ en az 3 tanesi sıfırdır onlar $d_1$,$e_1$,$f_1$ sayıları olsun.
$a_1$,$b_1$,$c_1$ sayıları 1,1,1; 2,1,0; 3,0,0 olabilirler. $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2={a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2+{d_1}^2+{e_1}^2+{f_1}^2+2(a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1)+6$

$a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1=3$
$12+{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2+{d_1}^2+{e_1}^2+{f_1}^2$'nın minimum değerini bulmamız gerekir.

$a_1+b_1+c_1=3$ $d_1=e_1=f_1=0$ olduğu için ${a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2$ minimum değerini bulmamız gerekir. En küçük değeri için her sayının pozitif olması gerekmektedir ve sağlayan tek durum vardır.
$a_1=b_1=c_1=1$'dir
$a=b=c=2$, $d=e=f=1$'dir. $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=15$ olur.

$1,2, \dots , 9 $ sayıları, $3 \times 3$ bir tahtanın birim karelerine, her bir birim karede bir sayı bulunacak ve her satır ve her sütundaki sayıların toplamı tek sayı olacak şekilde kaç farklı biçimde yerleştirilebilir?

$
\textbf{a)}\ 11520
\qquad\textbf{b)}\ 14400
\qquad\textbf{c)}\ 17280
\qquad\textbf{d)}\ 23040
\qquad\textbf{e)}\ 25920
$

Çözüm:

(Egemen Erbayat)

Yanıt: $\boxed E$

Bir satırdaki sayıların toplamının tek sayı olması için $3$ veya $1$ tek sayı içermelidir. Elimizde 5 tane tek sayı olduğu için tek sayılar $(3,1,1)$ şeklinde dağılır. Aynı şartlar sütun içinde geçerlidir ve onun dağılımıda $(3,1,1)$dir. $3$ tek sayıyı $3$ farklı satır ve sütuna koyabiliriz. Diziliş tek-çift sayılar bakımından $3 \cdot 3=9$ şekildedir. Tek sayıları $T$ ile, çift sayıları $C$ ile gösterirsek bu $9$ durumdan birine örnek durum:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
T & T & T \\ \hline
T& C & C \\ \hline
T & C & C \\ \hline

\end{array}
$$

verilebilir. $5!$ şekilde tekleri $4!$ şekilde çiftleri dizeriz. $5!4!9=25920$

$|AC|=30$ ve $s(\widehat{ABC})=90^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninde $C$ köşesine ait içaçıortayın $[AB]$ kenarı ile kesişimi $D$ noktası ve $|CD|=5\sqrt6$ ise, $|BC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 4\sqrt6
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt5
$

$2^{23} + 14!$ sayısının ondalık yazılımı $87A86B79808$ ise, $A\cdot B$ çarpımı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 64
\qquad\textbf{e)}\ 72
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

$2^{23}+14!\equiv (2^6)^4\cdot 2^{-1} \equiv \dfrac{1}{2} \equiv 5 \pmod{9}$ ve

$2^{23}+14! \equiv (2^{10})^2\cdot2^3\equiv 8 \pmod{11}$ dir.Buna göre,

$87A86B79808 \equiv A+B+7 \equiv 5 \pmod{9} \Rightarrow A+B \equiv 7 \pmod{9} $ ve

$87A86B79808 \equiv A-B+2 \equiv 8 \pmod{11} \Rightarrow A-B \equiv 6 \pmod{11}$ dir.

Buradan $A=1 , B=6$ olup $A \cdot B=6$ dır.

$x^2+2xy=4x+3y^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$x^2+2xy-4x=3y^2$ ifadesinde her iki tarafa $(y-2)^2$ eklenirse, $x^2+2(y-2)x+(y-2)^2=4y^2-4y+4$ yani $(x+y-2)^2=4(y^2-y+1)$ elde edilir. Bu eşitliğin tamsayılarda sağlanması için $y^2-y+1$ ifadesi tamkare olmalıdır.
Öte yandan, $y>1$ için $(y-1)^2<y^2-y+1<y^2$ dir ve iki ardışık tamkare arasında başka bir tamkare olamayacağından $y^2-y+1$ ifadesi tamkare olamaz.
$y<0$ için ise $y^2<y^2-y+1<(y-1)^2$ dir ve yine iki ardışık tamkare arasında başka bir tamkare olamayacağından $y^2-y+1$ ifadesi tamkare olamaz.
O halde verilen eşitliği sağlayabilecek $y$ sayıları $0$ veya $1$ olabilir.
$y=0 \Rightarrow x^2=4x \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=0, x=4$,
$y=1 \Rightarrow x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3, x=-1$
Toplamda $(0,0), (4,0), (3,1), (-1,1)$ olmak üzere $4$ adet $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır.

Bir masanın üstünde $300$ tane fındıktan oluşan bir öbek vardır. Her adımda, Ali seçtiği bir öbekten bir tane fındık yiyip, sonra bu öbekta kalan fındıkları en az birer fındık içeren iki öbeğe ayırıyor. Bir kaç hamle sonucunda tüm öbeklerde $k$ tane fındık varsa $k$ sayısı $3,4,5,6,7$ değerlerinden kaçını alabilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Çözüm:

(Egemen Erbayat)
Cevap:$\boxed E$
$n$ hamle sonunda $n$ fındık yer $n+1$ öbek oluşur.
$(n+1)k=300-n$
$(n+1)(k+1)=301$
$(n+1) 301,43,7,1$ olabilir.
$n+1=301 \Rightarrow k+1=1, k=0$
$n+1=43 \Rightarrow k+1=7, k=6$
$n+1=7 \Rightarrow k+1=43, k=42$
$n+1=1 \Rightarrow k+1=301, k=300$
$3,4,5,6,7$'den sadece $6$ sağlar.

Bir $ABC$ üçgeninin $A$ ve $B$ köşelerinden geçen bir çember $[BC]$ ve $[AC]$ kenarlarını sırasıyla, $D$ ev $E$ noktalarında kesiyor. $[AB]$ ve $[AD]$ nin orta noktaları sırasıyla, $P$ ve $Q$ olsun. $BC$ doğrusunun $A$ ya göre farklı tarafında olan bir $Z$ noktası için, $ZD$ ve $AD$ doğruları birbirine diktir ve $|DZ|=|DP|$ dir. $|AE|=1, |BD|=4$ ve $|DC|=2$ ise, $|ZQ|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{10}
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt5
$

Farklı üç pozitif tam sayı böleninin toplamı kendisine eşit olan $2014$ ten küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 77
\qquad\textbf{b)}\ 165
\qquad\textbf{c)}\ 258
\qquad\textbf{d)}\ 335
\qquad\textbf{e)}\ 770
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

Sayımız $a$ olsun. Alacağımız üç pozitif bölen arasında sayının kendisinin olmaması gerektiği açıktır. Çünkü bu durumda herhangi başka bir bölen daha eklendiğinde sayının kendisinden daha büyük bir toplam elde edilir.
Farz edelim ki, alacağımız $3$ bölen arasında sayının yarısı bulunmasın. Bu durumda diğer bölenlerden elde edilebilecek en büyük toplam = $\dfrac{a}{3}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{a}{5}=\dfrac{47a}{60}<a$ olur. O halde sayının yarısı alacağımız bölenler arasında geçmelidir.
Şimdi farz edelim ki, alacağımız diğer $2$ bölen arasında sayının üçte biri bulunmasın. Bu durumda diğer bölenlerden elde edilebilecek en büyük toplam = $\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{4}+\dfrac{a}{5}=\dfrac{19a}{20}<a$ olur. O halde sayının üçte biri de alacağımız bölenler arasında geçmelidir.
Alacağımız iki bölen yarısı ve üçte biri olduğuna göre, son bölen $a-\dfrac{a}{2}-\dfrac{a}{3}=\dfrac{a}{6}$ yani altıda biridir. Yarısı, üçte biri ve altıda biri tamsayı olan her sayı istenen şartı sağlar. O halde aradığımız sayılar $6$'nın katı olan sayılardır. $2014$'ten küçük ve $6$'nın katı olan $\left \lfloor \dfrac{2014}{6}\right \rfloor=335$ sayı bu şartı sağlar.

$x^3+2y^3=3$ ve $xy^2=1$ koşullarını sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilileri için, $x^3+y^3$ ifadesinin alabileceği değerlerin çarpımı nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

ikinci denklemden $x=\dfrac{1}{y^2}$ ifadesini, birinci denklemde yazarsak $2y^9-3y^6+1=0 \Rightarrow (y^3-1)^2(2y^3+1)=0$ olur.

Buradan, $y^3=1$ için $x^3=1$ ve $x^3+y^3=2$

$y^3=-\dfrac{1}{2}$ için $x^3=4$ ve $x^3+y^3=\dfrac{7}{2}$

olup iki durumda bulunan değerler çarpımı $7$ dir.

$101$ tane madeni paranın tam olarak $3$ tanesi sahtedir. Gerçek paraların ve sahte paraların ağırlıkları kendi aralarında eşit olup, sahte paralar gerçek paralardan daha hafiftir. İki kefeli bir tartı en az kaç kez kullanılarak gerçek paralardan $25$ tanesini belirlemek garantilenebilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$|AB|=1,|BC|=\sqrt3 $ ve $|CA|=\sqrt2$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarına ait bir $D$ noktası için, $AD$ doğrusu $B$ köşesine ait kenarortayı $P$ noktasında kesiyor ve $|PD|/|PA|=\sqrt2-1$ ise, $s(\widehat{DAC})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 60^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 75^\circ
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

Kenarortayın $[AC]$ yi kestiği nokta $E$ olsun. $A$ köşesinden $BC$ ye paralel çizilen doğru ile $BE$ doğrusunun kesişim noktasına da $K$ diyelim.
$$\dfrac{|BD|}{|AK|}=\dfrac{|PD|}{|PA|} \tag{1}$$ $$\dfrac{|AK|}{|BC|}=\dfrac{|AE|}{|EC|} \tag{2}$$
$(1)$ ve $(2)$ den $\dfrac{|DC|}{|BD|}=\sqrt{2}$ dir.

$ABC$ üçgeninde $\dfrac{|AC|}{|AB|}=\dfrac{|DC|}{|BD|}$ olduğundan $AD$ açıortaydır ve $|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2$ sağlandığından $\angle{BAC}=90^\circ$ olup $\angle{DAC}=45^\circ$ dir.

Tam olarak $19$ tane pozitif tam sayı böleni olan bir tam sayının $11$ ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$p$ asal sayı olmak üzere, sayımız $p^{18}$ biçimindedir. $(p,11)=1$ için $p^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ dir.Buna göre, $p^{18}=(p^{10})^2\cdot p^{-2} \equiv \dfrac{1}{p^2} \pmod{11}$ dir.
$p \equiv \pm1 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 1 \pmod{11}$
$p \equiv \pm2 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 3 \pmod{11}$
$p \equiv \pm3 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 5 \pmod{11}$
$p \equiv \pm4 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 9 \pmod{11}$
$p \equiv \pm5 \pmod{11} \Rightarrow \dfrac{1}{p^2} \equiv 4 \pmod{11}$

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=b-c-1$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b,c)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ özdeşliğinden faydalanarak verilen ifadeyi

$a^2+b^2+c^2+\dfrac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2} = b-c-1$ şeklinde yazabiliriz.Bu son eşitliği düzenlersek,

$a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2=2b-2c-2$

$a^2+b^2-2b+1+c^2+2b+1+(a+b+c)^2=0$

$a^2+(b-1)^2+(c+1)^2+(a+b+c)^2=0$ bu eşitlik sadece $a=0 , b=1 , c=-1$ değerleri için sağlanmaktadır.

O halde tek çözüm $(0,1,-1)$ üçlüsüdür.

Başlangıçta tahtada Aslı ve Berk'e ait olmak üzere beşer sayı bulunuyor. Oyunun her hamlesinde sayılarının toplamı daha büyük olan öğrenci kendi sayılarından birini siliyor. Toplamların eşit olması durumunda sayı silme sırası Berk'e veriliyor. Kendi sayılarının tümünü ilk silen öğrenci oyunu kazanıyor. Oyun, Aslı ve Berk'in sayıları sırasıyla $(1,3,5,7,9)$ ve $(2,4,6,8,10)$; $(1,2,5,9,10)$ ve $(1,3,4,8,9)$; $(1,2,5,9,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$; $(2,4,5,8,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$ olarak birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

Çözüm:

(Egemen Erbayat)

Cevap: $\boxed B$

Her iki tarafta garantileyebilmek için sayıları küçükten büyüğe silmelidir.(Küçükten büyüğe $x$ sayı sildiğinde toplam $a_x$, farklı sırayla $x$ sayı sildiğinde toplam $b_x \Rightarrow a_x\ge b_x$ ama biz daha fazla sayı silebilmek için toplamın büyük olmasını istiyoruz.)

Aslı'nın en büyük sayısına $s_a$, Berk'in en büyük sayısına $s_b$ diyelim.

$s_a>s_b$ ve Berk kazanır $\Rightarrow$ Aslı'nın kalan sayıları toplamı$<s_b$ olmalıdır. $x_a+s_a<s_b$ olmalıdır çelişki çıkar. O halde $s_a>s_b \Rightarrow$ Aslı kazanır.

$s_a\le s_b$ ve Aslı kazanır $\Rightarrow$ Berk'in kalan sayıları toplamı$\le s_a$ olmalıdır. $x_b+s_b\le s_a$ olmalıdır çelişki çıkar. O halde $s_a\le s_b \Rightarrow$ Berk kazanır.

$(1,2,5,9,10)$ ve $(1,3,4,8,9)$; $(1,2,5,9,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$; $(2,4,5,8,10)$ ve $(1,4,5,7,9)$ durumlarında $s_a>s_b$ olduğu için Aslı kazanır.