Bir $ABC$ üçgeninde $m( \widehat{A}) = 90^\circ, |AB| = 4, |AC| = 3$ ve $A$ köşesinden $[BC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $D$ olmak üzere, $[BD]$ üstünde bir $P$ noktası için $5|AP| = 13|PD|$ ise, $|CP|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{9+4\sqrt{3}}{5}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{56}{15}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{14}{5}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{37}{13}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3+5\sqrt{5}}{5}
$

$10  \cdot 3^{195}  \cdot 49^{49}$ sayısının dört tabanına göre yazımının son üç basamağı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 112
\qquad\textbf{b)}\ 130
\qquad\textbf{c)}\ 132
\qquad\textbf{d)}\ 212
\qquad\textbf{e)}\ 232
$

$a < b < c < d$ tam sayılar olmak üzere, $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9 = 0$ denkleminin bir kökü $x = 7$ ise, $a + b + c + d$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 14
\qquad\textbf{b)}\ 21
\qquad\textbf{c)}\ 28
\qquad\textbf{d)}\ 42
\qquad\textbf{e)}\ 63
$

Bir matematik dersinde ögretmen tahtaya yazdığı soruyu, Ali, Betül, Cem, Çağla, Dursun, Emre ve Fatma'nın gruplar halinde çözmesini istiyor. Her grup iki veya üç kişiden oluşacaksa, bu yedi öğrenci kaç farklı biçimde gruplara ayrılabilir?

$
\textbf{a)}\ 70
\qquad\textbf{b)}\ 105
\qquad\textbf{c)}\ 210
\qquad\textbf{d)}\ 280
\qquad\textbf{e)}\ 630
$

$O$ merkezli $AB$ çaplı yarım çember üstünde $C$ ve $D$ noktaları, $ABCD$ bir dışbükey dörtgen olacak biçimde alınıyor. $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenlerinin kesişim noktası $Q$, yarım çembere $C$ ve $D$ noktalarında teğet olan doğruların kesişim noktası $P$ olmak üzere, $m(\widehat{AQB}) = 2m(\widehat{COD})$ ve $|AB| = 2$ ise, $|PO|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2\sqrt{3}}{3}
$

$n!(2n+1)$ ve $221$ sayılarının aralarında asal olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\left \lfloor \dfrac{6x+5}{8} \right \rfloor=\dfrac{15x-7}{5}$ eşitliğini sağlayan gerçel sayıların toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{81}{90}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{7}{15}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{4}{5}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{19}{15}
$

$123456789$ sayısı ile başlanarak, her adımda, her ikisi de sıfırdan farklı bitişik iki rakamın değerleri birer azaltılarak yerleri kendi aralarında değiştiriliyor. Sonlu sayıda adım sonucunda elde edilebilecek en küçük sayının rakamları toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 3$ ve $C$ ye ait yüksekliğin uzunluğu $2$ ise, diğer iki yükseklik uzunluklarının çarpımı en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{144}{25}
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt{2}
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir tam sayının karesinin iki katına ve bir tam sayının küpünün üç katına eşit olup, $10^6$ dan küçük olan kaç pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir kümenin en büyük iki elemanının çarpımının $8/19$ u, geriye kalan elemanların toplamından büyük değilse, kümedeki sayılardan en büyüğünün alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 13
\qquad\textbf{d)}\ 19
\qquad\textbf{e)}\ 20
$

$10$ farklı kitap üç raflı bir kitaplığa, hiçbir raf boş kalmayacak biçimde kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

$
\textbf{a)}\ 36\cdot10!
\qquad\textbf{b)}\ 50\cdot10!
\qquad\textbf{c)}\ 55\cdot10!
\qquad\textbf{d)}\ 81\cdot10!
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABCD$ teğetler dörtgeninde $m(\widehat{A})=m(\widehat{B})=120^\circ , m(\widehat{C})=30^\circ$ ve $|BC|=2$ ise, $|AD|$ nedir?


$
\textbf{a)}\ \sqrt{3}-1
\qquad\textbf{b)}\ 2-\sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{6}-\sqrt{2}
\qquad\textbf{d)}\ 2-\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ 3-\sqrt{3}
$

$3^n$ nin, $(100^2-99^2)(99^2-98^2)\cdots(3^2-2^2)(2^2-1^2)$ çarpımını bölmesini sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 49
\qquad\textbf{b)}\ 53
\qquad\textbf{c)}\ 97
\qquad\textbf{d)}\ 103
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$a, b, c, d, e, f, g, h$ farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, $ab+cd = ef+gh$ ise, $ab + cd$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 34
\qquad\textbf{b)}\ 33
\qquad\textbf{c)}\ 32
\qquad\textbf{d)}\ 31
\qquad\textbf{e)}\ 30
$

$x, y, z \leq 9$ pozitif tam sayılar olmak üzere, her $(x, y, z)$ üçlüsü için, bu sayılardan en büyüğü ile en küçüğünün toplamına bu üçlünün gücü diyoruz. Bu tür tüm $(x, y, z)$ üçlülerinin güçlerinin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 9000
\qquad\textbf{b)}\ 8460
\qquad\textbf{c)}\ 7290
\qquad\textbf{d)}\ 6150
\qquad\textbf{e)}\ 6000
$

$m(\widehat{A})>m(\widehat{B})$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine $C$ noktasında teğet olan doğru ile $AB$ doğrusunun kesişimi $K$ noktasıdır.
$L , [BC]$ kenarı üstünde bir nokta olmak üzere, $m(\widehat{ALB})=m(\widehat{CAK}),5|LC|=4|BL|$ ve $|KC|=12$ ise, $|AK|$ nedir?


$
\textbf{a)}\ 4\sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n^3+8$ sayısının en çok üç pozitif böleninin bulunmasını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x_{1}=5 , x_{2}=401$ ve her $3 \leq n \leq m $ için $$x_{n}=x_{n-2}-\dfrac{1}{x_{n-1}}$$ ise, $m$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 406
\qquad\textbf{b)}\ 2005
\qquad\textbf{c)}\ 2006
\qquad\textbf{d)}\ 2007
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$9$ ardışık bölümden oluşan bir şeridin her bölümü kırmızı veya beyaza boyanıyor. Herhangi bitişik iki bölüm birlikte beyaza boyanamıyorsa, bu boyama kaç değişik biçimde yapılabilir?

$
\textbf{a)}\ 34
\qquad\textbf{b)}\ 89
\qquad\textbf{c)}\ 128
\qquad\textbf{d)}\ 144
\qquad\textbf{e)}\ 360
$

$m(\widehat{A})=m(\widehat{D})=90^\circ$ olan bir $ABCD$ dörtgeninin $[DC]$ kenarının orta noktası $M$ ile gösterilmek üzere, $AC \perp BM , |DC|=12$ ve $|AB|=9$ ise $|AD|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n$ ve $m$ tam sayılar olmak üzere,$n \leq 2007 \leq m$ ve $n^n \equiv -1 \equiv m^m \pmod{5}$ ise, $m-n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

Birim kenarlı bir eşkenar üçgenle başlanarak her kenarın orta üçte birini taban alan eşkenar üçgenler kesilerek çıkarılıyor. Sonra, elde edilen çokgenin her kenarının orta üçte birini taban alan eşkenar üçgenler kesilerek çıkarılıyor. Böylece bu işlem sonsuz kez tekrarlandığında elde edilen şeklin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2\sqrt{3}}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{8}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{10}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{4\sqrt{3}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Aşağıdaki $n$ sayılarından hangisi için, $1$ den $n$ ye kadar olan tam sayılar bir çemberin ertafına, her sayı, her iki yanındaki sayıların farkına bölünecek biçimde dizilebilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 13
$

Birim çember üstünde $|AB| = |BC|$ ve $m(\widehat{ABC}) = 72^\circ$ olacak şekilde $A,B,C$ noktaları alınıyor. $BCD$ bir eşkenar üçgen olacak şekilde çemberin iç bölgesinde alınan bir $D$ noktası için, $AD$ doğrusu çemberi ikinci kez $E$ noktasında kesiyorsa, $|DE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{3}-1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$c, a$ ve $b$ nin pozitif ortak katlarının en küçüğünü ve $d$ de, ortak bölenlerinin en büyüğünü göstermek üzere, $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{d}=1$$ eşitliğini sağlayan kaç tane $(a,b)$ pozitif tamsayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

$$\left ( x+1 \right )\left ( x+\dfrac{1}{4} \right )\left ( x+\dfrac{1}{2} \right )\left ( x+\dfrac{3}{4} \right )=\dfrac{45}{32}$$ denkleminin gerçel çözümlerini toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ -1
\qquad\textbf{c)}\ -\dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{d)}\ -\dfrac{5}{4}
\qquad\textbf{e)}\ -\dfrac{7}{12}
$

Bir çember etrafında yazılı $n$ tam sayıdan her biri, kendisini saat yönünde izleyen iki sayının farkının mutlak değerine eşit olup, tüm sayıların toplamı $278$ ise, $n$ kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 139
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABCD$ karesinin sırasıyla $[BC]$ ve $[CD]$ kenarları üstünde alınan $M$ ve $N$ noktaları için $|BM| = 21, |DN| = 4$ ve $|NC| = 24$ ise, $m(\widehat{MAN})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 37^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 60^\circ
$

Her $n\geq1$ için $a_{n+48} \equiv a_{n} \pmod{35}$ koşulunun sağlandığı bir $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ tamsayı dizisinde $i$ ve $j$ sırasıyla, her $n\geq1$ için, $a_{n+i} \equiv a_{n} \pmod{5}$ ve $a_{n+j} \equiv a_{n} \pmod{7}$ bağıntılarını sağlayan en küçük pozitif tamsayılarsa, $(i,j)$ ikilisi aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ (16,4)
\qquad\textbf{b)}\ (3,16)
\qquad\textbf{c)}\ (8,6)
\qquad\textbf{d)}\ (1,48)
\qquad\textbf{e)}\ (16,18)
$

Kare şeklindeki bir arazi, sınırlarına paralel doğrular çizilerek dikdörtgen şeklindeki $n$ tarlaya bölünüyor. Tarlaların çevre uzunluklarının toplamı, arazinin çevre uzunluğunun $100$ katıysa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 10000
\qquad\textbf{b)}\ 20000
\qquad\textbf{c)}\ 50000
\qquad\textbf{d)}\ 100000
\qquad\textbf{e)}\ 200000
$

$8\times 8$ bir satranç tahtasının birim karelerinden her birinin merkezine $0$ ve $1$ sayılarından birini yazıyoruz. Her satır, her sütun ve iki köşegenden birine paralel olup birim karelerin merkezlerinden geçen her doğru üstündeki sayıların toplamları çift ise, tahtaya yazılı bütün sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 32
\qquad\textbf{b)}\ 48
\qquad\textbf{c)}\ 52
\qquad\textbf{d)}\ 56
\qquad\textbf{e)}\ 64
$

Bir $A$ noktasından $C$ çemberine çizilen teğetlerin değme noktaları $M$ ve $N$ dir. $[AN]$ üstünde alınan bir $P$ noktası için $MP$ ile $C$ nin ikinci kesişim noktası $Q, P$ den geçen ve $MA$ ya paralel olan doğru ile $MN$ nin kesişim noktası $R$ olmak üzere, $|MA| = 2, |MN| = \sqrt{3}$ ve $QR\parallel AN$ ise, $|PN|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{3}
$

$15$ ten küçük kaç $p$ asal sayısı için, $$\begin{array}{rcl}
m+n+k &\equiv& 0 \pmod{p}\\
mn+mk+nk &\equiv& 1 \pmod{p}\\
mnk &\equiv& 2 \pmod{p}
\end{array}$$ sistemini sağlayan $(m,n,k)$ tamsayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ sayısının ondalık yazılımında virgülden sonra üçüncü basamaktaki rakam nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Herhangi üçü bir doğru üstünde bulunmayan beş noktadan bazılarını köşe kabul eden dışbükey çokgenlerin sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 16
$