Geomania.Org Forumları

Bir $ABC$ eşkenar üçgeninde $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarının orta noktaları sırasıyla $D$ ve $E$; $[DE$ ışınının çevrel çemberi kestiği nokta da $F$ olmak üzere, $\dfrac {|DE|}{|DF|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt 3}3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 23 (\sqrt 3 - 1)
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 23
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt 5-1}2
$

$p$ ve $p^2+2$ asal sayılarsa, $p^3+3$ sayısının en çok kaç asal böleni olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$a_1 = -1$, $a_2 = 2$ ve $n\geq 3$ için, $a_n = \dfrac {a_{n-1}}{a_{n-2}}$ ise, $a_{2006}$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -2
\qquad\textbf{b)}\ -1
\qquad\textbf{c)}\ -\dfrac 12
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

Kenar uzunlukları $1$ olan $27$ tane küpten her birinde, iki karşılıklı yüz birer nokta, başka iki karşılıklı yüz ikişer nokta, geri kalan iki karşılıklı yüz de üçer nokta ile işaretleniyor. Bu $27$ küp ile $3\times 3 \times 3$ boyutlarında bir küp oluşturursak, bu küpün yüzleri üstünde işaretlenmiş toplam nokta sayısı en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 54
\qquad\textbf{b)}\ 60
\qquad\textbf{c)}\ 72
\qquad\textbf{d)}\ 90
\qquad\textbf{e)}\ 96
$

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|AB| + |BD| = |AC|$ ve $m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{DAC}) = 30^\circ$ olacak biçimde bir $D$ noktası bulunuyorsa, $m(\widehat {ACB})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 40^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 48^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 50^\circ
$

$3+3^2+3^{2^2} +3^{2^3} + \cdots +3^{2^{2006}}$ toplamı, $11$ moduna göre aşağıdakilerden hangisine denktir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

$\left \lfloor \dfrac m{11} \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac m{10} \right \rfloor$ eşitliğini sağlayan kaç pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 44
\qquad\textbf{b)}\ 48
\qquad\textbf{c)}\ 52
\qquad\textbf{d)}\ 54
\qquad\textbf{e)}\ 56
$

$d_1$ ve $d_2$ bir düzlem üzerinde birbirine paralel iki farklı doğru olmak üzere, $d_1$ üstünde $11$ siyah nokta, $d_2$ üstünde de $16$ beyaz nokta işaretleniyor. Siyah ve beyaz noktaları birleştiren doğru parçalarının, $d_1$ ve $d_2$ doğruları arasındaki şeridin iç bölgesinde bulunan kesişim noktalarının sayısı en çok kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5600
\qquad\textbf{b)}\ 5650
\qquad\textbf{c)}\ 6500
\qquad\textbf{d)}\ 6560
\qquad\textbf{e)}\ 6600
$

Kenar uzunlukları $|AB| = 6$, $|BC| = 7$ ve $|AC| = 8$ olan bir ABC üçgeninin $A$ köşesine ait iç açıortay $BC$ yi $D$ noktasında kesiyor. $E$ noktası $[AC]$ üstünde olmak üzere $|CE| = 2$ ise, $|DE|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{17}5
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 72
\qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 3\sqrt 2
$

$5^n$ nin $\dfrac{2006!}{(1003!)^2}$ sayısını bölmesini sağlayan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 500
$

$4x^4 - 3x^2 + 7x - 3 = 0$ denkleminin farklı gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -1
\qquad\textbf{b)}\ -2
\qquad\textbf{c)}\ -3
\qquad\textbf{d)}\ -4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\{1, 2, \dots , 2006\}$ kümesi, boş olmayan ve hiçbiri ardışık herhangi iki sayı içermeyen üç kümeye kaç değişik biçimde ayrılabilir?

$
\textbf{a)}\ 3^{2006}-3\cdot 2^{2006}+1
\qquad\textbf{b)}\ 2^{2005}-2
\qquad\textbf{c)}\ 3^{2004}
\qquad\textbf{d)}\ 3^{2005}-1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$|AB| = |AC|$ olan ikizkenar bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ kenarı üstünde alınan bir $D$ noktasından $BC$ ye çizilen paralel $AC$ yi $E$ noktasında kesiyor. $m(\widehat A) = 20^\circ$, $|DE| = 1$, $|BC| = a$ ve $|BE| = a + 1$ ise, $|AB|$ aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 2a
\qquad\textbf{b)}\ a^2-a
\qquad\textbf{c)}\ a^2+1
\qquad\textbf{d)}\ (a+1)^2
\qquad\textbf{e)}\ a^2+a
$

$A,B \in \{1, 2, \dots , 9\}$ olmak üzere, on tabanındaki yazılımı $AABB$ şeklinde olan sayılardan kaç tanesi tam karedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x^2 - 5x - 4 \sqrt x + 13 = 0$ denkleminin kaç farklı gerçel kökü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

$x_1 + x_2 + \cdots + x_{13} \leq 2006$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x_1, x_2, \dots , x_{13})$ pozitif tam sayı on üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{2006!}{13!\cdot 1993!}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2006!}{14!\cdot 1992!}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1993!}{12!\cdot 1981!}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1993!}{13!\cdot 1980!}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|BD| = 2$, $|DC| = 6$ olacak şekilde bir $D$ noktası bulunmaktadır. $|AB| = 4$ ve $m(\widehat{ACB}) = 20^\circ$ olduğuna göre, $m(\widehat{BAD})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 10^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 18^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 20^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 22^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 25^\circ
$

$S = \{n : n3^n + (2n + 1)5^n \equiv 0 \pmod 7\}$ ise, her $n\in S$ için, $n + k \in S$ olmasını sağlayan en küçük pozitif $k$ tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 21
\qquad\textbf{e)}\ 42
$

$x^4+y^4+z^4+1 = 4xyz$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y, z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

Bir kareyi $k$ tane kareye ayırabiliyorsak, $k$ tam sayısına iyi sayı diyelim. $2006$ dan büyük olmayan kaç iyi sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 1003
\qquad\textbf{b)}\ 1026
\qquad\textbf{c)}\ 2000
\qquad\textbf{d)}\ 2003
\qquad\textbf{e)}\ 2004
$

Bir $ABC$ üçgeninde $m( \widehat{A}) = 70^\circ$ dir. İçteğet çemberinin merkezi $I$ olmak üzere, $|BC| = |AC| + |AI|$ olduğuna göre, $m(\widehat{B})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 35^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 36^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 42^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$0\leq x<165,0\leq y<165$ ve $ y^{2}\equiv x^{3}+x \pmod{165}$ koşullarını sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 80
\qquad\textbf{b)}\ 99
\qquad\textbf{c)}\ 120
\qquad\textbf{d)}\ 315
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\left ( 1+\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4} \right )^{10}$ sayısını aşmayan en büyük tam sayı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 21
\qquad\textbf{d)}\ 32
\qquad\textbf{e)}\ 36
$

$n$ takımın katıldığı bir hentbol turnuvasında, her takım, kendi dışındaki her takımla tam olarak bir maç yapıyor. Her maçta kazanan $2$, kaybeden $0$ puan alırken, beraberlik durumunda iki takım da $1$ er puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde tüm takımların puanları farklı olup, sonuncu olan takım ilk üç sırada yer alan takımların hepsini yenmiş ise, $n$ en az kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Kenar uzunlukları $|AB| = 7, |BC| = 6$ ve$|AC| = 5$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ nin orta noktası $E$ dir. $A$ köşesinden çizilen iç açıortaya $E$ den inilen dikmenin $AB$ yi kestiği nokta $D$ ise, $|AD|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{9}{2}
\qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Kaç $p$ asal sayısı için, $m^3+3m-2 \equiv 0 \pmod{p}$ ve $m^2+4m+5 \equiv 0 \pmod{p}$  koşullarını sağlayan bir $m$ tam sayısı bulunur?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

$x, y, z$ pozitif gerçel sayıları $xy + yz + zx = 5$ koşulunu sağlıyorsa, $x^2 + y^2 + z^2 - xyz$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$10$ şekeri olan Ali, her gün en az bir şeker yiyorsa, şekerlerinin tümünü günlere dağılımı itibariyle kaç değişik biçimde yiyebilir?

$
\textbf{a)}\ 64
\qquad\textbf{b)}\ 126
\qquad\textbf{c)}\ 243
\qquad\textbf{d)}\ 512
\qquad\textbf{e)}\ 1025
$

Bir $ABC$ üçgeninde içteğet çemberinin merkezi $I; [BC]$ ye değen dış teğet çemberinin merkezi $J$ olmak üzere, $m( \widehat{B}) = 45^\circ , m(\widehat{A}) = 120^\circ$ ve $|IJ| = \sqrt{3}$ ise, $|BC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{4}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt{6}}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{3}-1
$

$0 \leq x < 13 , 0 \leq y < 13 , 0 \leq z < 13$ olmak üzere $$\begin{array}{lcl}
x-yz^2 &\equiv& 1 \pmod{13}\\
xz+y &\equiv& 4 \pmod{13}
\end{array}$$ denklik sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 23
\qquad\textbf{c)}\ 36
\qquad\textbf{d)}\ 49
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$a,b,c$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$  polinomu $P(1) \geq 2$ ve $P(3) \leq 31$ koşullarını sağlıyorsa, $P(4)$ ün alabileceği kaç tam sayı değer vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

"$\left \{1, 2, \cdots , 9 \right \}$ kümesinin $5$ elemanlı hangi $6$ altkümesini alırsak alalım, bunlardan en az bir ortak elemana sahip $k$ tanesi bulunur" önermesinin doğru olmasını sağlayan en büyük $k$ tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Bir dışbükey $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{ABD})=40^\circ , m(\widehat{DBC})=70^\circ ,m(\widehat{BDA})=80^\circ$ ve $m(\widehat{BDC})=50^\circ$ ise $m(\widehat{CAD})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 25^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 35^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 38^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 40^\circ
$

$1000$ den küçük olan ve $2$ veya daha fazla ardışık pozitif tam sayının toplamı olarak yazılamayan kaç pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 26
\qquad\textbf{d)}\ 68
\qquad\textbf{e)}\ 72
$

$a, b, c$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x) = ax^2 + bx + c$ polinomunun farklı gerçel köklerinin sayısı $1$, $P(P(P(x)))$ polinomunun farklı gerçel köklerinin sayısı da $3$ ise, $abc$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -3
\qquad\textbf{b)}\ -2
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $n$ sorudan oluşan bir sınavda, her soru en az bir öğrenci tarafından doğru yanıtlanıyor. Ayrıca hem her öğrenci çift sayıda soruyu doğru yanıtlıyor, hem de herhangi iki öğrenci için, her ikisinin de doğru yanıtladığı ortak soru sayısının çift olduğu gözleniyor. $n$ nin alamayacağı değerlerin sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$