Köşeleri, yarıçapı $1$ olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir $n$-genin çevre uzunluğunun alanına oranı $\dfrac{4\sqrt 3}3$ ise, $n$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

$2x + 5y = xy - 1$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 12
$

Elemanlarının hepsi $102$ den küçük olan ve herhangi iki elemanının toplamını içermeyen bir pozitif tam sayı kümesinin en çok kaç elemanı olabilir?

$
\textbf{a)}\ 49
\qquad\textbf{b)}\ 50
\qquad\textbf{c)}\ 51
\qquad\textbf{d)}\ 54
\qquad\textbf{e)}\ 62
$

$\{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ise, $a_1+2a_2+3a_3+4a_4+5a_5$ toplamının alabileceği en büyük değerle en küçük değer arasındaki fark nedir?

$
\textbf{a)}\ 20
\qquad\textbf{b)}\ 15
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

Kenar uzunlukları $a, b, c$ olan bir üçgende $a\leq2\leq b\leq 3$ ise, bu üçgenin alanı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için $a^2 + ab - 6b^2 = n$ eşitliğini sağlayan $a$, $b$ tam sayıları bulunur?

$
\textbf{a)}\ 17
\qquad\textbf{b)}\ 19
\qquad\textbf{c)}\ 29
\qquad\textbf{d)}\ 31
\qquad\textbf{e)}\ 37
$

Farklı ağırlıktaki dört taş, iki kefeli bir teraziyi en az kaç kez kullanarak hafiften ağıra doğru sıralanabilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

$x+y+z = 90$ eşitliğini sağlayan kaç $(x, y, z)$ pozitif tam sayı üçlüsü için $\dfrac xn = \dfrac y{n + 1} = \dfrac z{n + 2}$ koşulunu sağlayan bir $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

Çevresinin uzunluğu $\pi$ olan bir üçgenin dış bölgesinde kalan ve üçgene olan uzaklığı $1$ i aşmayan noktaların oluşturduğu bölgenin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 4\pi
\qquad\textbf{b)}\ 3\pi
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\pi}2
\qquad\textbf{d)}\ 2\pi
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {3\pi}2
$

$a_1 = \sqrt 7$ ve $i \geq 1$ için $b_i = \lfloor a_i \rfloor$, $a_{i+1} = \dfrac 1{b_i - \lfloor b_i \rfloor}$ olsun. $b_n$ nin $4$ e bölünmesini sağlayan $2004$ ten büyük en küçük $n$ tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 2005
\qquad\textbf{b)}\ 2006
\qquad\textbf{c)}\ 2007
\qquad\textbf{d)}\ 2008
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$40$ satır ve $7$ sütundan oluşan bir satranç tahtasının her birim karesine $0$ ve $1$ sayılarından birini yazıyoruz. Bu yazım sonucu, farklı herhangi iki satırda oluşan diziler birbirinden farklıysa, en çok kaç tane $1$ kullanılmış olabilir?

$
\textbf{a)}\ 198
\qquad\textbf{b)}\ 128
\qquad\textbf{c)}\ 82
\qquad\textbf{d)}\ 40
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$ çarpımının alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -\dfrac 14
\qquad\textbf{b)}\ -\dfrac 13
\qquad\textbf{c)}\ -\dfrac 12
\qquad\textbf{d)}\ -1
\qquad\textbf{e)}\ -2
$

Bir üçgenin iç açılarının tanjantları tam sayılarsa, bu sayıların toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$i, o, p, t, y \in \{0, 1, 2, \dots , 9\}$ olmak üzere, $top^2 = iyitop$ ise, $y - i$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Dört $0$, beş $1$, ve bir $2$ kullanarak on basamaklı kaç farklı tam sayı yazılabilir?

$
\textbf{a)}\ 1260
\qquad\textbf{b)}\ 1134
\qquad\textbf{c)}\ 756
\qquad\textbf{d)}\ 630
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Kenar uzunluğu $6$ olan bir $ABCD$ karesinin $[BC]$ ve $[CD]$ kenarları üzerinde, $|CR| + |RT| + |TC| = 12$ olacak biçimde sırasıyla $R$ ve $T$ noktaları alınıyor. $\tan(\widehat{RAT})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 2\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 13
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanlarının kuvvetleri tek sayı olan pozitif tam sayıların oluşturduğu küme, en çok kaç ardışık tam sayı içerir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

$1$ ile başlayıp her adımda elimizdeki sayıya $1$ ekleyerek veya çarpmaya göre tersinin negatifini alarak, sonlu sayıda adımda aşağıdakilerden hangisini elde edemeyiz?

$
\textbf{a)}\ -2
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 53
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Tüm $x$ gerçel sayıları için $x^2 \geq C \lfloor x \rfloor (x - \lfloor x \rfloor)$ eşitsizliğinin doğru olmasını sağlayan en büyük $C$ gerçel sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

$S_1$ ve $S_2$ çemberleri $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyor. $B$ den geçen bir doğru $S_1$ i $B$ dışında $D$ noktasında ve $S_2$ yi ise yine $B$ dışında $C$ noktasında kesiyor. $D$ den $S_1$ e çizilen teğet ile $C$ den $S_2$ ye çizilen teğetin kesişim noktası $E$ ve $|AD| = 15$, $|AC| = 16$, $|AB| = 10$ ise, $|AE|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 20
\qquad\textbf{b)}\ 24
\qquad\textbf{c)}\ 25
\qquad\textbf{d)}\ 26
\qquad\textbf{e)}\ 31
$

Aşağıdaki ifadelerin hangisinin $25$ e bölünmesini sağlayan bir $x$ tam sayısı bulunur?

$\textbf{a)}$ $x^3-3x^2+8x-1$

$\textbf{b)}$ $x^3+3x^2-2x+1$

$\textbf{c)}$ $x^3 + 14x^2 + 3x-8$

$\textbf{d)}$ $x^3 - 5x^2 + x+1$

$\textbf{e)}$ $\text{Hiçbiri}$

Sonsuz bir satranç tahtasında $25$ kare nasıl seçilirse seçilsin ortak köşesi olmayan $n$ tanesi bulunabiliyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

$x^3 - 2x^2 - x + 1 = 0$ denkleminin gerçel köklerinin küplerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ -6
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısına ait iç açıortayın ayağı $D$ olmak üzere, $[AC]$ kenarı üzerindeki $E$ noktası, $|CE| = |CD|$ ve $|AE| = 6 \sqrt 5$; $[AB$ ışını üzerindeki $F$ noktası da, $|DB| = |BF|$ ve $|AB| < |AF| = 8 \sqrt 5$ koşullarını sağlıyorsa, $|AD|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 10\sqrt 5
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 4 \sqrt{15}
\qquad\textbf{d)}\ 7\sqrt 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$2005^{2003^{2004}+3}$ sayısı $3$ tabanına göre yazıldığında son iki basamak ne olur?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 01
\qquad\textbf{c)}\ 11
\qquad\textbf{d)}\ 02
\qquad\textbf{e)}\ 22
$

İkisinde $1$, sekizinde $2$, on ikisinde $3$, dördünde $4$ ve beşinde $5$ yazılı otuz bir taştan otuzu herhangi iki satırdaki sayıların toplamı eşit ve herhangi iki sütundaki sayıların toplamı eşit olacak biçimde $5 \times  6$ bir satranç tahtasına yerleştirilmişse, kullanılmayan taştaki sayı nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$x$, $y$ gerçel sayıları $4x^2+9y^2 = 8$ eşitliğini sağlıyorsa, $8x^2+9xy+18y^2+ 2x + 3y$ ifadesinin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 23
\qquad\textbf{b)}\ 26
\qquad\textbf{c)}\ 29
\qquad\textbf{d)}\ 31
\qquad\textbf{e)}\ 35
$

$ABCD$ kirişler dörtgeninin $AC$ ve $BD$ köşegenleri $M$ noktasında kesişiyor. $|AB| = 5$, $|CD| = 3$, $m(\widehat{AMB}) = 60^\circ$ ise, dörtgenin çevrel çemberinin yarı çapının uzunluğu nedir?

$
\textbf{a)}\ 5\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{7\sqrt 3}3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{34}
$

$p^2 + 23$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı $14$ olacak şekilde kaç $p$ asal sayısı bulunur?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$n$ tam sayısının kaç farklı değeri için, düzlemde her biri kendi dışındakilerin tam olarak $2004$ ü ile kesişen farklı $n$ doğru bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

$a$, $b$, $c$, $d$ farklı gerçel sayılar olmak üzere, $a$ ve $b$, $x^2 - 2cx - 5d = 0$ denkleminin, $c$ ve $d$ ise, $x^2 - 2ax - 5b = 0$ denkleminin kökleriyse, $a + b + c + d$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 15
\qquad\textbf{c)}\ 20
\qquad\textbf{d)}\ 25
\qquad\textbf{e)}\ 30
$

$|AB| = 9$, $|CD| = 5$ ve $BC\parallel AD$ koşullarını sağlayan $ABCD$ yamuğunun $D$ açısına ait iç açıortay, $A$ ve $C$ açılarının iç açıortaylarını sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında; $B$ açısının iç açıortayı ise, yine $A$ ve $C$ açılarının iç açıortaylarını sırasıyla $L$ ve $K$ noktalarında kesiyor. $K$ noktası $[AD]$ üzerinde ve $\dfrac {|LM|}{|KN|} = \dfrac 37$ ise, $\dfrac{|MN|}{|KL|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{62}{63}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{27}{35}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{21}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{24}{63}
$

$n$ nin tüm pozitif tam sayı değerleri için $5n^{11} -2n^5 -3n$ sayısını bölen kaç tane pozitif tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 18
$

Bir çember üzerine, her biri saat yönünde kendisinden sonra gelen iki sayının farkının mutlak değerine eşit ve hepsinin toplamı $94$ olacak biçimde $n$ tane tam sayı yerleştirilmesini olanaklı kılan en büyük $n$ sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 188
\qquad\textbf{b)}\ 186
\qquad\textbf{c)}\ 141
\qquad\textbf{d)}\ 100
\qquad\textbf{e)}\ 47
$

$f$ fonksiyonu, her $x \neq 1$ gerçel sayısı için, $f(x) + f \left ( \dfrac{1}{\sqrt[3]{1-x^3}} \right )=x^3$ eşitliğini sağlıyorsa, $f(-1)$ nedir?

$
\textbf{a)}\ -1
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 14
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 74
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$