Tübitak Lise 1. Aşama - 2002 Çözümleri

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$, $[BC]$ ve $[CA]$ nın orta noktaları sırasıyla $C'$, $A'$ ve $B'$; $A$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ dir. $|A'C'| = 6$ olduğuna göre, $|B'H|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 6\sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$AHC$ dik üçgeninde $B'H = AC/2$, aynı zamanda $A'C' = AC/2$ olduğu için $A'C' = B'H = 6$.

$11$ modunda $3^{2002}$ aşağıdakilerden hangisine denktir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

Fermat'ın küçük teoremi gereğince $3^{10} \equiv 1 \pmod {11}$. O halde $3^{2002} = (3^{10})^{200}3^2 \equiv 9 \pmod {11}$.

Başlangıçta bütün birim kareleri beyaz olan $m\times n$ bir tahtayı, sonuçta, ortak kenara sahip herhangi iki kareden biri siyah biri beyaz olacak şekilde boyamak istiyoruz. Boyama işleminin her adımında tahta üstünde $2 \times 2$ bir kare seçilerek, beyaz birim kareleri siyaha, siyah birim kareleri beyaza boyanıyor. Aşağıdakilerden hangi $(m, n)$ sıralı ikilisi için, tahta istenilen biçimde boyanabilir?

$
\textbf{a)}\ (3,3)
\qquad\textbf{b)}\ (2,6)
\qquad\textbf{c)}\ (4,8)
\qquad\textbf{d)}\ (5,5)
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$4\times 4$ bir tahtayı ele alalım. Tahtanın satırlarını $A,B,C,D$ diye, sütunlarını da $1,2,3,4$ diye adlandıralım.
Boyanacak $2\times 2$ lik parçanın sol-üst köşesi $4\times 4$ lük tahtanın hangi karesine geliyorsa o kareye bir $+$ koyalım.
Örneğin aşağıdaki gibi bir boyama

$\begin{array}{c|c|c|c|c|}
&1&2&3&4 \\ \hline
A&+&+&& \\ \hline
B&+&&+& \\ \hline
C&&+&+& \\ \hline
D&&&& \\ \hline
\end{array}$

sonucu hangi karenin kaç kez boyandığını gösterecek olursak

$\begin{array}{c|c|c|c|c|}
&1&2&3&4 \\ \hline
A&1&2&1&0 \\ \hline
B&2&3&2&1 \\ \hline
C&1&2&3&2 \\ \hline
D&0&1&2&1 \\ \hline
\end{array}$

elde ederiz. Komşu kareler teklik çiftlik açısından farklı olduğu için soru istenilen şekilde bir boyama elde etmiş olduk.

Bu şekilde boyanan $4\times 4$ lük blokları birleştirerek $4m\times 4n$ lük bloklar elde edebiliriz. Bu durumda, $(4,8)$ çifti için istenen biçimde boyama yapabiliriz.

$x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 2$ polinomunun kaç gerçel kökü vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$\begin{array}{rcl}
x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 2 &=& x^4(x+1)-x^2(x+1)-2(x+1) \\ &=& (x+1)(x^4-x^2-2) \\ &=& (x^2-2)(x^2+1)(x+1)
\end{array}$

$x = \sqrt 2, - \sqrt 2, -1$.

Bir üçgenin iki yüksekliği $8$ ve $12$ dir. Üçüncü yükseklik aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Diğer yüksekliğe $h$ dersek, üçgenin kenarları $8h$, $12h$ ve $96$ ile orantılı olacaktır. Sadeleştirdikten sonra ($2h,3h,24$) üçgen eşitsizliğini yazarsak $5h>24>h$ yani $24/5<h<24$ elde ederiz.

Ondalık yazılımı beş basamaklı bir sayının binler basamağı $3$ olup, bu sayı $37$ ve $173$ ile bölünüyorsa, bu sayının yüzler basamağı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$\overline{a3bcd} = 37 \cdot 173 \cdot x = 6401 \cdot x$ eşitliğini $\bmod{100}$ de incelersek $\overline{cd} \equiv x \pmod {100}$ elde edilir.
$x<20$ olduğu aşikar. Bu durumda $x = \overline{cd}$ dir. ($c=0$ olabilir.)

$\overline{a3bcd} = 6401\cdot \overline{cd} \Rightarrow \overline{a3b00} + \overline {cd} = 6400\cdot \overline{cd} + \overline{cd} \Rightarrow \overline{a3b} = 64\cdot \overline {cd}.$

$4$ ile bölünebilme kuralından $b=2$ ya da $b=6$ dır.

$b=2$ için $\overline {a32} = 100a + 32 = 32 \cdot 2 \cdot \overline {cd} \Rightarrow 100a \equiv 4a \equiv 0 \pmod {32} \Rightarrow a =8.$
$832 \div 64 = 13 = \overline {cd}$.

$b=6$ için $\overline {a36} = 100a + 36 = 64 \cdot \overline {cd} \Rightarrow 100(a+1) = 64 \cdot (\overline{cd} + 1) \Rightarrow 25 \mid \overline{cd} + 1.$
Bu şartı sağlayan en küçük $\overline {cd}$ sayısı $24$ olduğu için buradan çözüm gelmez.

O halde $\overline{a3bcd} = 83213$.

Her seferinde tam olarak iki karpuzu birlikte tartmak koşuluyla, $13$ karpuzun toplam ağırlığı en az kaç tartıda bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$7$ tartıda bulunamayacağı aşikar. İlk $10$ karpuzu tarttıktan sonra, son $3$ karpuzu ikişerli gruplar halinde tartıp çıkan sonuçları toplayıp $2$ ye bölersek $3$ karpuzun toplam ağırlığını buluruz. Bu durumda, $8$ kez tartmış olduk.

$x^{60} - 1$ polinomu aşağıdaki polinomlardan hangisi ile bölünmez?

$
\textbf{a)}\ x^2+x+1
\qquad\textbf{b)}\ x^4-1
\qquad\textbf{c)}\ x^5-1
\qquad\textbf{d)}\ x^{15}-1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

Her $a \mid 60$ pozitif tam sayısı için $x^a-1 \mid x^{60}-1$ dir. Yani $b,c,d$ şıklarında verilen polinomlar $x^{60}-1$ i böler.
Ek olarak $x^2+x+1 \mid x^3 - 1$ olduğu için $a$ şıkkındaki polinom da $x^{60}-1$ i böler.

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 5$, $|BC| = 9$ ve $|AC| = 8$ dir. $\widehat{BCA}$ nın açıortayı $BA$ yı $X$ noktasında, $\widehat{CAB}$ nin açıortayı $BC$ yi $Y$ noktasında kesiyor. $XY$ ve $AC$ doğrularının kesiştiği nokta $Z$ olmak üzere, $|AZ|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{104}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{145}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{89}
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

İddia: $ABC$ üçgeninde $[BZ]$ dış açıortay, $[CX]$ ve $[AY]$ iç açıortay ise $X,Y,Z$ doğrusaldır.

İspat:
$\triangle ABC$ de $X,Y,Z$ noktaları için Menelaus uygulayalım.
$$\dfrac{AX}{XB} \cdot \dfrac{BY}{YC} \cdot \dfrac{CZ}{ZA} = \dfrac{AC}{BC} \cdot \dfrac{AB}{AC} \cdot \dfrac{BC}{AB} = 1. \blacksquare$$

O halde, $BZ$ dış açıortaydır. $\dfrac{AZ}{CZ} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac 59 \Rightarrow AZ=10$.

$x^3 - 13y^3 = 1453$ eşitliğini sağlayan $(x, y)$ tam sayı sıralı ikililerinin sayısı aşağıdakilerden hangisine bölünmez?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{E}$

Eşitliği $\bmod 7$ de inceleyelim. $$x^3 -13y^3 \equiv x^3 + y^3 \equiv 1453 \equiv 4 \pmod 7$$ $\bmod 7$ de küp kalanlar kümesi $\{0,1,6\}$ dır. $a,b \in \{0,1,6\}$ ve $a+b=4$ olacak şekilde $a,b$ sayıları bulunamayacağı için denklemin çözüm kümesi boştur. Şıklardan hepsi $0$ sayısını böleceği için cevap hiçbiridir.

$(1 + x + x^2)^9$ ifadesinin açılımında $x^5$ in katsayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 1680
\qquad\textbf{b)}\ 882
\qquad\textbf{c)}\ 729
\qquad\textbf{d)}\ 450
\qquad\textbf{e)}\ 246
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$\left( (1 + x) + x^2 \right)^9 = \binom{9}{0}(1+x)^9(x^2)^0 + \binom{9}{1}(1+x)^8(x^2)^1 + \binom{9}{2}(1+x)^7(x^2)^2 + \cdots$ olacağı için $x^5$ in katsayısı $\binom{9}{0} \cdot \binom{9}{5} + \binom{9}{1} \cdot \binom{8}{3} + \binom{9}{2} \cdot \binom{7}{1} = 882$ dir.

$a, b, c$ gerçel sayıları $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ eşitliğini sağlıyorsa, $ab + bc + ac$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -1
\qquad\textbf{b)}\ -\dfrac 12
\qquad\textbf{c)}\ -\dfrac 13
\qquad\textbf{d)}\ -\dfrac{1}{2\sqrt 2}
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$0\leq (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ac) = 1 + 2(ab+bc+ac) \Rightarrow -\dfrac 12 \leq ab+bc+ac$.

$a=0, b=\dfrac{1}{\sqrt 2}, c= - \dfrac{1}{\sqrt 2}$ istenen koşulları sağlayan üçlülerden biridir.

$AB$ nin $CD$ ye paralel olduğu bir $ABCD$ yamuğunda $|BC|+|AD| = 7$, $|AB| = 9$ ve $|BC| = 14$ tür.$\widehat{BCD}$ ve $\widehat{CDA}$ nın açıortayları ile $CD$ nin oluşturduğu üçgenin alanının yamuğun alanına oranı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{9}{14}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5}{7}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{49}{69}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac 13
$

Çözüm 1:

Bu soru iptal edilmiştir.

Çözüm 2:

$|BC|=14$ verildiğinden iptal edilmiş, $|DC|=14$ için çözüm aşağıdadır:

$\angle C$ ile $\angle D$ ye ait açıortaylar $E$ de kesişsin. $CE$ ile $DE$ doğruları $AB$ yi sırasıyla $F$ ve $G$ de kessin. $AD=AG$ ve $BF=BC$.
$GF = 9 - AG - BF = 9-7=2$ dir. $ABCD$ yamuğunun yüksekliği $h$, $\triangle DEC$ de $DC$ ye ait yükseklik $r$ olsun. $GF/CD=2/14=1/7$ olduğu için $r/h = 7/6$ dır.
$$\dfrac{[CDE]}{[ABCD]} = \dfrac{CD\cdot r}{(AB+CD)h} = \dfrac{14r}{23h} = \dfrac{14}{23} \cdot \dfrac{7}{6} = \dfrac{49}{69}.$$

Buna göre cevap $\boxed{D}$ oluyor.

$39p + 1$ sayısını tam kare yapan kaç $p$ asal sayısı vardr?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$39p+1 = T^2 \Rightarrow 39p = (T-1)(T+1)$

$T-1 = 39, T+1 = 41 \Rightarrow p = 41$
$T-1 = 39, T+1 = 41 \Rightarrow p = 37$
$T-1 = 13, T+1 = 15 \Rightarrow p = 5$

Bir tiyatro salonunda onar koltukluk on sıra bulunmaktadır ve koltuklar numaralanmıştır. Birbirinden habersiz bilet alan iki arkadaşın koltuklarının yan yana düşmesi olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{55}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{50}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2}{55}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{25}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Alınan koltukları $(a,b)$ sıralı ikilisi ile gösterelim. $100 \cdot 99$ farklı ikili oluşturulabilir.
İlk sıradan $(1,2),(2,3), \dots, (9,10)$ ve bunların yansıması olmak üzere toplam $9 \cdot 2$ farklı yan yana bilet alınabilir.
Toplamda $10$ sıra olduğu için aradığımız yanıt $\dfrac{9 \cdot 2 \cdot 10}{100 \cdot 99} = \dfrac{1}{55}$ tir.

$x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere $x^2 + \dfrac 1{4x}$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

$
\textbf{a)}\ \sqrt 3 -1
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt 2 - 2
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 5 - 1
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

$\dfrac{x^2 + \dfrac{1}{8x} + \dfrac{1}{8x}}{3} \geq \sqrt[3]{x^2 \cdot \dfrac{1}{8x} \cdot \dfrac{1}{8x}} = \dfrac 14 \Rightarrow x^2 + \dfrac 1{4x} \geq \dfrac 34 = 0,75.$

$b,c,d$ şıkları $0,75$ ten büyük. $a$ yı test etmemiz gerekiyor:
$\sqrt 3 -1 < \dfrac 34 \Leftrightarrow \sqrt 3 < \dfrac 74 \Leftrightarrow 3 < \dfrac {49}{16} \Leftrightarrow 48 < 49.$

$AD \parallel BC$ ve $|AB| = |CD|$ koşullarını sağlayan bir $ABCD$ yamuğu aynı zamanda bir teğetler dörtgenidir. İç teğet çemberinin $[CD]$ kenarına değme noktası $N$, $[AN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $K$, $[BN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $L$ olmak üzere, $\dfrac{|AN|}{|AK|} + \dfrac{|BN|}{|BL|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$ABCD$ ikizkenar yamuğunda içteğet çemberin merkezinden taban ve tavana dikmeler indirildiğinde, bu değme noktaları ve iç merkez doğrusal olacaktır. Bu doğru yamuğun simetri ekseni olacaktır.

$CN=x$ ve $DN=y$ olsun.

$B$ noktasının içteğet çembere göre kuvvetinden $BL\cdot BN = x^2 \Rightarrow \dfrac{BN}{BL} = \dfrac{BN^2}{x^2}$,

$A$ noktasının içteğet çembere göre kuvvetinden $AK\cdot AN = y^2 \Rightarrow \dfrac{AN}{AK} = \dfrac{AN^2}{y^2}$.

$\angle BCD = \alpha$ dersek, $BN^2 = 5x^2 - 4x^2\cdot \cos \alpha$ ve $AN^2 = 5y^2 + 4y^2\cdot \cos \alpha$ olur.

Bu durumda, $\dfrac{BN}{BL} + \dfrac{AN}{AK} = 5 - 4\cos \alpha + 5 + 4\cos \alpha = 10$ elde edilir.

NOT:
Aynı soru bir önceki senede de sorulmuş.

$|15x^2-32x-28|$ sayısının asal olmasını sağlayan kaç $x$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$|15x^2-32x-28| = |5x-14|\cdot |3x+2|$ dir. Bu durumda çarpanlardan birinin mutlaka $1$ olması gerekir.

$x \in \mathbb{Z}$ olduğunu da hesaba katarak,

$5x-14 = \pm 1 \Rightarrow x = 3$ veya
$3x+2 = \pm 1 \Rightarrow x = -1$ bulunur.

$x=3$ için $|3x+2| = 11$ asaldır.
$x=-1$ için $|5x-14| = 19$ asaldır.
O halde çözüm kümesi $\{-1,3\}$ tür.

Bir $A$ sayısının ondalık gösteriminin sağına üç rakam yazarak, $1 + 2 + \cdots + A$ toplamına eşit bir sayı elde edilmesini olanaklı kılan kaç tane $A$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 2002
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$1000A \leq 1 + 2 + \cdots + A < 1000A + 1000$

$1000A \leq \dfrac{A(A+1)}{2} < 1000A + 1000$

$0 \leq \dfrac{A(A+1)}{2} - 1000A < 1000$

$0 \leq A(A-1999) < 2000$ eşitsizliğini sağlayan tek pozitif tam sayı $A=1999$ dur.

$x, y$ gerçel sayıları $x^2 + xy + y^2 = 1$ eşitliğini sağlıyorsa, $x^2 + y^2$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{\sqrt 2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 3-\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$(x-y)^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \geq 2xy = 2 (1-x^2-y^2) \Rightarrow 3(x^2+y^2) \geq 2 \Rightarrow x^2+y^2 \geq \dfrac 23.$

Düzgün $A_1A_2 \cdots A_{10}$ $10$-geninin $[A_1A_4]$ köşegeninin uzunluğu $b$, çevrel çemberinin yarıçapı $R$ dir. Bu $10$-genin kenar uzunluğu nedir?

$
\textbf{a)}\ b-R
\qquad\textbf{b)}\ b^2-R^2
\qquad\textbf{c)}\ R+\dfrac b2
\qquad\textbf{d)}\ b-2R
\qquad\textbf{e)}\ 2b-3R
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

Çokgenin merkezi $O$ olsun. $\angle A_1OA_2 = 36^\circ$, $\angle A_2OA_4 = 72^\circ$ dir.
$\angle A_2A_1A_4 = \angle A_4A_1O = \angle A_1A_4O = 36^\circ$ dir.
$OA_2 \cap A_1A_4 = \{B\}$ olsun. $OA_4 = A_4B = R.$
$A_1A_2 = A_1B=A_1A_4 - A_4B = b-R.$

$5^{256} - 1$ sayısı $2^n$ ile bölünüyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 11
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$5^{256} - 1 = (5-1)(5+1)(5^2 + 1)(5^4+1)(5^{2^3} + 1) \cdots (5^{2^6} + 1)(5^{128}+1) = 2^2 \cdot \sum \limits_{i=0}^{7}5^{2^i} + 1$

$5^{2^i} + 1 \equiv 2 \pmod 4$ olduğu için $5^{2^i} + 1 = 4a_i + 2 = 2(2a_i + 1)$ şeklinde değişken değiştirirsek
$5^{256} - 1 = 2^2 \cdot \sum \limits_{i=0}^{7} 2(2a_i + 1) = 2^{10} \cdot \sum \limits_{i=0}^{7}(2a_i + 1)$ olacaktır.

$\{1, 2, \dots , n\}$ kümesinin, $1\leq r \leq n$ olmak üzere, $r$ elemanlı altkümelerinin en küçük elemanlarının aritmetik ortalaması nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{n+1}{r+1}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{r(n+1)}{r+1}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{nr}{r+1}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{r(n+1)}{(r+1)n}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed{A}$

En küçük elemanı $1\leq i \leq n+1-r$ olan alt küme sayısı $\dbinom{n-i}{r-1}$ dir. O halde aradığımız aritmetik ortalama: $$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n+1-r} i \cdot \dbinom{n-i}{r-1}}{\dbinom nr}.$$
Üstteki toplamı
$ \binom{r-1}{r-1} $

$+ \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1}$

$\quad \vdots $

$+ \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1} + \cdots + \binom{n-2}{r-1}$

$ + \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1} + \cdots + \binom{n-2}{r-1} + \binom{n-1}{r-1} $

şeklinde yazabiliriz.

Sütun-Toplam Özdeşliği: $\sum\limits_{r=c}^{n} \dbinom{r}{c} = \dbinom {n+1}{c+1}$

Binom katsayıları arasındaki Sütun-Toplam özdeşliğini her satıra uygularsak,

$ \binom{r}{r} $

$+ \binom{r+1}{r}$

$\quad \vdots $

$+ \binom{n-1}{r}$

$ + \binom{n}{r} $

elde ederiz. Bunları da aynı özdeşlikten toplarsak $\binom{n+1}{r+1}$ elde ederiz.
$$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n+1-r} i \cdot \dbinom{n-i}{r-1}}{\dbinom nr} = \dfrac{\dbinom {n+1}{r+1}}{\dbinom nr} = \dfrac {n+1}{r+1}. \blacksquare$$

Çözüm 2:

$\{1,2,\dots, n\}$ kümesinin $r$ elemanlı bir alt kümesinin en küçük elemanı $a$ olsun. Bu alt kümeyi $a$ kez yazalım. Bu alt kümelerin her birine $x=0,1,a-1$ sayılarından birini tam olarak bir kez ekleyelim. $x$ yeni alt kümenin en küçük elemanı, $a$ da ikinci en küçük elemanı olur. Bu yeni alt kümeler $\{0,1,2,\dots, n\}$ kümesinden seçilen $r+1$ elemanlı alt kümeler olacaktır. Bu durumda ağırlıklı toplam $\binom{n+1}{r+1}$, toplam alt küme sayısı da $\binom{n}{r}$ olacaktır. Aritmetik ortalama da $\dfrac{\binom{n+1}{r+1}}{\binom nr} = \dfrac{n+1}{r+1}$ olacaktır.

$ \left \lfloor \sqrt[3] {7n + 2} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt[3] {7n + 3} \right \rfloor $ eşitliğini sağlamayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{A}$

$\bmod 7$ de küp kalanlar $\{0,1,6\}$ dır.

Bu durumda, ($a \in \mathbb{Z}$), $a < \sqrt[3] {7n + 2} < a+1$ olduğunda $a^3 < 7n+2 < 7n+3<(a+1)^3$ olacağından $\sqrt[3] {7n + 2}$ ile $\sqrt[3] {7n + 3}$ ün tam kısımları her zaman aynıdır.

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası işaretleniyor. $AB$ ve $CE$ doğruları $F$ de; $BE$ ve $DF$ doğruları $G$ de kesişiyor. $m(\widehat{DAB}) = 60^\circ $ ise, $m(\widehat{DGB})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 50^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 60^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 65^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 75^\circ
$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed{C}$

$BD \cap EC = \{H\}$ olsun.
$AB=BC=CD=DA=a$ ve $AF=x$ diyelim.

$\dfrac{HD}{BE} = \dfrac {CD}{BF} = \dfrac{a}{a+x}$.

$\triangle BDF$ de Ceva Teoreminden $$\dfrac{HD}{BH} \cdot \dfrac{BA}{AF} \cdot \dfrac{FG}{GD} = 1 \Rightarrow \dfrac{FG}{GD} = \dfrac{x(a+x)}{a^2} \Rightarrow \dfrac{FG}{FD} = \dfrac {ax+x^2}{a^2+ax+x^2} \tag{1}$$
$\triangle FAD$ de Kosinüs Teoreminden $FD^2 = a^2 + x^2 + ax$ değerini $(1)$ de yerine yazarsak $$\dfrac{FG}{FD} = \dfrac{ax+x^2}{FD^2} = \dfrac{FA \cdot FB}{FD^2} \Rightarrow FG \cdot FD = FA \cdot FB \tag{2}$$ elde ederiz. Bu da $B,A,G,D$ nin çembersel olduğu anlamına gelir. Bu durumda $\angle BAD = \angle BGD = 60^\circ$ olur.

Not:
Test mantığı ile $AE=EB$ alırsak basit açı hesaplarıyla sonuca gidebiliriz.

Çözüm 2:

$\dfrac{BD}{BE} = \dfrac{BC}{BE} = \dfrac{AF}{AE}=\dfrac{FD}{DC}=\dfrac{FD}{BD}$ ve $\angle FDB = \angle EBD = 60^\circ$ olduğu için $K.A.K$ dan $\triangle EBD \sim \triangle FDB$, dolayısıyla $\angle BDE = \angle DFB$.

$\angle DGB = \angle GDF + \angle DFG = \angle GDF + \angle BDG = \angle BDF = 60^\circ$.

Kaynak:
AoPS

Üç bileşik tek sayının toplamı olarak yazılabilen tüm tam karelerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \{(2k + 1)^2 : k \geq 0\}$
$\textbf{b)}\ \{(4k + 3)^2 : k \geq 1\}$
$\textbf{c)}\ \{(2k + 1)^2 : k \geq 3\}$
$\textbf{d)}\ \{(4k + 1)^2 : k \geq 2\}$
$\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

Üç tek sayının toplamı tektir.

$\begin{array}{rcll}
(2k+1)^2 &=& 4k^2 + 4k + 1 \\
&=& 9 + 4k^2 + 4k - 8 \\
&=& 9 + (k+2)k + (k+2)(3k-4) & (i)\\
&=& 9 + (k+1)(k-1) + (k+1)(3k-7) & (ii)\\
\end{array}$

$k$ tek olduğunda $(i)$ deki şekilde üç tek sayı seçilebilir.
$k$ çift olduğunda $(ii)$ deki şekilde üç tek sayı seçilebilir.
$k>2$ için tek sayıların bileşikliği garantilenir.

Wikipedia'daki bileşik sayı tanımına göre bileşik sayılar pozitif olup en az $3$ pozitif bölene sahip olmalı.
O halde en küçük bileşik tek sayı $9$ dur. $(2k+1)^2\geq 27 \Rightarrow k\geq 3$ olduğu için $49$ dan itibaren tüm tek kareler üç bileşik tek sayının toplamı şeklinde yazılabilir.

Bir kasanın beş kilidine ait anahtarlar çoğaltılarak sekiz kişiye, bu sekiz kişiden herhangi beşinin birlikte kasayı açmalarını olanaklı kılacak biçimde dağıtılacaktır. Anahtarların toplam sayısı en az ne olmalıdır?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 20
\qquad\textbf{c)}\ 22
\qquad\textbf{d)}\ 24
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

Anahtarlardan her biri en az $4$ kişiye dağıtılmalı. Aksi takdirde en az $5$ kişi de anahtarlardan biri olmayacak. Bu durumda kasayı açamayacaklar. Buna göre en az $5\times 4=20$ anahtar olmalı.

$20$ anahtarlı dağılıma, sadece $4$ kişiye tüm anahtarların verildiği dağılımı örnek olarak verebiliriz.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
\hline
A_1 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
A_2 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
A_3 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
A_4 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
A_5 & \times & \times & \times & \times & & & & \\
\hline
\end{array}$$

$a_{2001} = 2002$ ve $0\leq k \leq 2000$ için $a_k = -k - 1$ ise, $x^{2002} + a_{2001}x^{2001} + a_{2000}x^{2000} + \cdots + a_1x + a_0$ polinomunun kaç pozitif kökü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1001
\qquad\textbf{e)}\ 2002
$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed{B}$

$P(x) = x^{2002} + 2002x^{2001} - 2001x^{2000} - \cdots - 2x - 1$ polinomunun katsayılarının işaretlerini sırasıyla yazalım:
$++--\dots-$

Descartes'ın İşaret Kuralı gereğince $P(x)$ in pozitif gerçel kök sayısı $+,-$ ya da $-,+$ gibi işaret değişimlerinin sayısı kadar ya da onun çift sayı eksiği kadardır.
Bu durumda $P(x)$ için pozitif kök sayısı $1$ olmalıdır.

Kaynak:
AoPS
Wikipedia
Vikipedi
Cut The Knot

Çözüm 2:

$P(0)=-1$ ve yeterince büyük $k$ değerleri için $P(k)>0$ olacaktır. Bu durumda, $0<r<k$ ve $P(r)=0$ olacak şekilde en az bir $r$ gerçel sayısı vardır.
$P(x)=(x-r)Q(x)$ olsun.

$\begin{array}{lcl}
P(x) &=& x^{2002} + 2002x^{2001} - 2001x^{2000} - \cdots - 2x - 1\\
&=& (x-r)(x^{2001}+(r+2002)x^{2000}+(r^2+2002r-2001)x^{1999} + (r^3+2002r^2-2001r-2000)x^{1998} \\
& & + \ldots + (r^{2000}+2002r^{1999}-2001r^{1998}-\ldots -4r-3)x \\ && +(r^{2001}+2002r^{2000}-2001r^{1999}-\ldots -4r^2-3r-2))
\end{array}
$

$r^{2002}+2002r^{2001}-2001r^{2000}-\ldots -2r-1=0$ olduğu için $r^{2001}(r+2002)=2001r^{2000}+\ldots +2r+1$, dolayısıyla $r+2002>0$. Benzer şekilde $Q(x)$ in tüm katsayıları pozitif olacaktır.
Tüm katsayıları pozitif olan bir polinomun pozitif kökü olamayacağı için $Q(x)$ in pozitif kökü yoktur. Dolayısıyla $P(x)$ in sadece bir pozitif kökü vardır.

Bir $ABC$ üçgeninde $\widehat{CAB}$ nin açıortayı $BC$ yi $L$ de, $\widehat{ABC}$ nin açıortayı $AC$ yi $N$ de kesiyor. $AL$ ile $BN$ doğruları $O$ da kesişiyor. $|NL| = \sqrt 3$ ise, $|ON| + |OL|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Çözüm 1:

Bu soru iptal edilmiştir.

Çözüm 2:

$\angle ACB = 60^\circ$ verilseydi $c) 2$ elde edilecek idi.

$x^3 - 2x + 6 \equiv 0 \pmod {125}$ ve $0 \leq x < 125$ koşullarını sağlayan kaç $x$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$x^3 - 2x + 6 \equiv 0 \pmod 5 \Rightarrow x = 5k+1$ veya $x = 5k+2$.

$x=5k+1$ için
$(5k+1)^3 - 2(5k+1) + 6 \equiv 75k^2 + 5k + 5 \equiv 0 \pmod {125} \Rightarrow 15k^2 + k + 1 \equiv 0 \pmod {25}$
$k \equiv 4 \pmod 5$ olduğu için $x = 5(5k+4)+1 = 25k+21$ olmalı.

$\begin{array}{rcll}
(25k+21)^3 - 2(25k+1) + 6 &\equiv & 75k\cdot 441 -50k + 21^3 - 36 & \pmod {125} \\
&\equiv& 75k \cdot 441 - 50k + 9225 & \pmod {125} \\
&\equiv& 75k \cdot 441 - 50k - 25 & \pmod {125} \\
\end{array}$

$3k \cdot 441 - 2k - 1 \equiv 0 \pmod 5 \Rightarrow k \equiv 1 \pmod 5$ olur. Bu durumda $x = 25(5k+1)+21 = 125k + 46$ elde edilir.

$x=5k+2$ için
$(5k+2)^3 - 2(5k+2) + 6 \equiv 25k^2 + 50k + 10 \equiv 0 \pmod {125} \Rightarrow 5k^2 + 10k + 2 \equiv 0 \pmod {25}$ den çözüm gelmez.

O halde, tek çözüm $x=46$ dır.

$N \geq 2$ olmak üzere, $1, 2, \dots ,N$ sayıları bir çember etrafına diziliyor. Her sayı ondalık gösterimde her komşusuyla bir ortak rakama sahip ise, $N$ en az kaç olmalıdır?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 19
\qquad\textbf{c)}\ 28
\qquad\textbf{d)}\ 29
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

$9$ un solunda ve sağında $9$ içeren sayılar olmalı. Bu durumda $N$ en az $29$ dur.
Aşağıdaki şekilde $N=29$ için geçerli bir dizilim örneklendirilmiştir:

$S = \dfrac 1{1^2} + \dfrac 1{2^2} + \dfrac 1{3^2} + \cdots + \dfrac 1{2001^2} + \dfrac 1{2002^2}$ ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$
\textbf{a)}\ 1\leq S < \dfrac 43
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 43 \leq S < 2
\qquad\textbf{c)}\ 2 \leq S < \dfrac 73
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 73 \leq S < \dfrac 52
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac 52 \leq S < 3
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

Serinin ilk üç teriminin toplamı $1 + \dfrac 14 + \dfrac 19 = 1 + \dfrac{13}{36} > 1 + \dfrac {13}{39} = \dfrac 43$ olduğu için $a$ şıkkı eleniyor.

$\dfrac {1}{n^2} < \dfrac {1}{n^2 - 1} = \dfrac 12 \cdot \left (\dfrac 1{n-1} - \dfrac {1}{n+1} \right )$ eşitsizliğini uygularsak

$\begin{array}{rcl}
S &=& \dfrac 1{1^2} + \dfrac 1{2^2} + \dfrac 1{3^2} + \cdots + \dfrac 1{2001^2} + \dfrac 1{2002^2} \\
&\leq& 1 + \dfrac 12 \cdot \left ( 1 - \dfrac 13 + \dfrac 12 - \dfrac 14 + \dfrac 13 - \dfrac 15 + \cdots + \dfrac{1}{2000} - \dfrac{1}{2002} + \dfrac{1}{2001} - \dfrac{1}{2003} \right ) \\
&\leq& 1 + \dfrac 12 \cdot \left ( 1 + \dfrac 12 - \dfrac{1}{2002} - \dfrac{1}{2003} \right ) \\
&\leq& 1 + \dfrac 12 \cdot \left ( 1 + \dfrac 12\right ) \\
&\leq& \dfrac 74 \\
&<& 2.
\end{array}$

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninde $m(\widehat{ABC}) = 40^\circ$, $[BC]$ nin orta noktası $E$ ve $A$ dan $DE$ ye indirilen dikmenin ayağı $F$ ise, $m(\widehat{DFC})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 100^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 110^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 115^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 120^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 135^\circ
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{B}$

$DE \cap AB = \{G\}$ olsun.
$BE/EC=BG/CD=1 \Rightarrow AB=BG=BC$ olduğu için $\angle ACG = 90^\circ = \angle GFA$. Bu da $AFCG$ yi kirişler dörtgeni yapar. $\angle GAC = \angle GFC = 70^\circ$ ve $\angle DFC = 110^\circ$ olur.

$3n^2 + 3n + 7$ sayısının tam küp olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

Çözüm 1:

Yanıt: $\boxed{A}$

$3n^2 + 3n + 7 = (n+1)^3 - n^3 + 6$ denklemini $\bmod 9$ da inceleyelim:

$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline n & n^3 & (n+1)^3 - n^3 + 6 \\
\hline 0 & 0 & 7 \\
\hline 1 & 1 & 4 \\
\hline 2 & 8 & 7 \\
\hline 3 & 0 & 7 \\
\hline 4 & 1 & 4 \\
\hline 5 & 8 & 7 \\
\hline 6 & 0 & 7 \\
\hline 7 & 1 & 4 \\
\hline 8 & 8 & 7 \\
\hline
\end{array}$

Tablodan da görüleceği üzere $3n^2+3n+7$ ifadesi $\bmod 9$ da hiçbir zaman bir tam küple aynı kalanı bırakmıyor. Bu durumda çözüm kümesi boş kümedir.

Çözüm 2:

$3n^2+3n+7=3n(n+1)+7 = m^3 \equiv 0, 1, 8 \pmod 9$
$0$ ve $8$ sağlamaz; çünkü $3 \not \mid 3n(n+1)+7-m^3$.
$3n^2+3n+7 \equiv 1 \pmod 9 \Longrightarrow 3n^2+3n+6 = 9k \Longrightarrow n^2+n+2 = 3k$. Bunu da $\bmod 3$ te incelersek hiçbir $n$ sayısı tarafından sağlamadığını görürüz.

Her $i = 0, 1, 2, \dots$ tam sayısı için, ağırlığı $2^i$ olan sekiz top bulunmaktadır. $n$ kutunun her birinin içine istenildiği kadar top konabiliyor. Her kutuya konulan topların ağırlıklarının toplamı aynıysa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{D}$

Kutulardaki en ağır top $2^m$ olsun. Bu durumda kullanılabilecek tüm topların toplam ağırlığı $8 \cdot (1+ 2 + \cdots + 2^m) = 8(2^{m+1}-1)$ olacaktır.
Diğer taraftan her kutunun ağırlığı en az $2^m$ olacağı için $$n \cdot 2^m \leq 2^{m+4} - 8 \Rightarrow n \leq 2^{4} - \dfrac{8}{2^m} < 16.$$
$m=3$ için $n=15$ olabilir.
$8$ kutuya $8$ ağırlıklı toplardan birer tane, $4$ kutuya $4$ ağırlıklı toplardan ikişer tane, $2$ kutuya $2$ ağırlıklı toplardan dörder tane, $1$ kutuya $1$ ağırlıklı $8$ top koyarsak her kutudaki topların ağırlığı $8$ olmuş olur.

$a \neq -1$ olmak üzere, $a$ gerçel sayısı, $a^5 +5a^4 +10a^3 +3a^2 -9a-6 = 0$ eşitliğini sağlıyorsa, $(a + 1)^3$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 27
$

Çözüm:

Yanıt: $\boxed{C}$

$a = -1$ in polinomu $0$ yaptığı hemen görülebilir. Bu durumda $(a+1)$ bir çarpandır.

$ \begin{array}{rcl}
a^5 +5a^4 +10a^3 +3a^2 -9a-6 &=& (a+1)(a^4 + 4a^3 + 6a^2 -3a -6)\\
&=& (a+1)\left( (a+1)^4 -7a-7 \right) \\
&=& (a+1)^2\left( (a+1)^3 -7\right) \\
\end{array}$
$(a+1)^2 \neq 0$ olduğu için $(a+1)^3 = 7$.