Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$, $[BC]$ ve $[CA]$ nın orta noktaları sırasıyla $C'$, $A'$ ve $B'$; $A$ dan $BC$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ dir. $|A'C'| = 6$ olduğuna göre, $|B'H|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 6\sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

$11$ modunda $3^{2002}$ aşağıdakilerden hangisine denktir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Başlangıçta bütün birim kareleri beyaz olan $m\times n$ bir tahtayı, sonuçta, ortak kenara sahip herhangi iki kareden biri siyah biri beyaz olacak şekilde boyamak istiyoruz. Boyama işleminin her adımında tahta üstünde $2 \times 2$ bir kare seçilerek, beyaz birim kareleri siyaha, siyah birim kareleri beyaza boyanıyor. Aşağıdakilerden hangi $(m, n)$ sıralı ikilisi için, tahta istenilen biçimde boyanabilir?

$
\textbf{a)}\ (3,3)
\qquad\textbf{b)}\ (2,6)
\qquad\textbf{c)}\ (4,8)
\qquad\textbf{d)}\ (5,5)
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 2x - 2$ polinomunun kaç gerçel kökü vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir üçgenin iki yüksekliği $8$ ve $12$ dir. Üçüncü yükseklik aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 23
$

Ondalık yazılımı beş basamaklı bir sayının binler basamağı $3$ olup, bu sayı $37$ ve $173$ ile bölünüyorsa, bu sayının yüzler basamağı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

Her seferinde tam olarak iki karpuzu birlikte tartmak koşuluyla, $13$ karpuzun toplam ağırlığı en az kaç tartıda bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 11
$

$x^{60} - 1$ polinomu aşağıdaki polinomlardan hangisi ile bölünmez?

$
\textbf{a)}\ x^2+x+1
\qquad\textbf{b)}\ x^4-1
\qquad\textbf{c)}\ x^5-1
\qquad\textbf{d)}\ x^{15}-1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 5$, $|BC| = 9$ ve $|AC| = 8$ dir. $\widehat{BCA}$ nın açıortayı $BA$ yı $X$ noktasında, $\widehat{CAB}$ nin açıortayı $BC$ yi $Y$ noktasında kesiyor. $XY$ ve $AC$ doğrularının kesiştiği nokta $Z$ olmak üzere, $|AZ|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{104}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{145}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{89}
\qquad\textbf{d)}\ 9
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

$x^3 - 13y^3 = 1453$ eşitliğini sağlayan $(x, y)$ tam sayı sıralı ikililerinin sayısı aşağıdakilerden hangisine bölünmez?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$(1 + x + x^2)^9$ ifadesinin açılımında $x^5$ in katsayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 1680
\qquad\textbf{b)}\ 882
\qquad\textbf{c)}\ 729
\qquad\textbf{d)}\ 450
\qquad\textbf{e)}\ 246
$

$a, b, c$ gerçel sayıları $a^2 + b^2 + c^2 = 1$ eşitliğini sağlıyorsa, $ab + bc + ac$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -1
\qquad\textbf{b)}\ -\dfrac 12
\qquad\textbf{c)}\ -\dfrac 13
\qquad\textbf{d)}\ -\dfrac{1}{2\sqrt 2}
\qquad\textbf{e)}\ 0
$

$AB$ nin $CD$ ye paralel olduğu bir $ABCD$ yamuğunda $|BC|+|AD| = 7$, $|AB| = 9$ ve $|BC| = 14$ tür.$\widehat{BCD}$ ve $\widehat{CDA}$ nın açıortayları ile $CD$ nin oluşturduğu üçgenin alanının yamuğun alanına oranı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{9}{14}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5}{7}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{49}{69}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac 13
$

$39p + 1$ sayısını tam kare yapan kaç $p$ asal sayısı vardr?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir tiyatro salonunda onar koltukluk on sıra bulunmaktadır ve koltuklar numaralanmıştır. Birbirinden habersiz bilet alan iki arkadaşın koltuklarının yan yana düşmesi olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{55}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{50}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2}{55}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{25}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x$ pozitif bir gerçel sayı olmak üzere $x^2 + \dfrac 1{4x}$ ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisini alamaz?

$
\textbf{a)}\ \sqrt 3 -1
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt 2 - 2
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 5 - 1
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$AD \parallel BC$ ve $|AB| = |CD|$ koşullarını sağlayan bir $ABCD$ yamuğu aynı zamanda bir teğetler dörtgenidir. İç teğet çemberinin $[CD]$ kenarına değme noktası $N$, $[AN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $K$, $[BN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $L$ olmak üzere, $\dfrac{|AN|}{|AK|} + \dfrac{|BN|}{|BL|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

$|15x^2-32x-28|$ sayısının asal olmasını sağlayan kaç $x$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $A$ sayısının ondalık gösteriminin sağına üç rakam yazarak, $1 + 2 + \cdots + A$ toplamına eşit bir sayı elde edilmesini olanaklı kılan kaç tane $A$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 2002
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x, y$ gerçel sayıları $x^2 + xy + y^2 = 1$ eşitliğini sağlıyorsa, $x^2 + y^2$ aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{\sqrt 2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 3-\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Düzgün $A_1A_2 \cdots A_{10}$ $10$-geninin $[A_1A_4]$ köşegeninin uzunluğu $b$, çevrel çemberinin yarıçapı $R$ dir. Bu $10$-genin kenar uzunluğu nedir?

$
\textbf{a)}\ b-R
\qquad\textbf{b)}\ b^2-R^2
\qquad\textbf{c)}\ R+\dfrac b2
\qquad\textbf{d)}\ b-2R
\qquad\textbf{e)}\ 2b-3R
$

$5^{256} - 1$ sayısı $2^n$ ile bölünüyorsa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 11
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\{1, 2, \dots , n\}$ kümesinin, $1\leq  r \leq n$ olmak üzere, $r$ elemanlı altkümelerinin en küçük elemanlarının aritmetik ortalaması nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{n+1}{r+1}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{r(n+1)}{r+1}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{nr}{r+1}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{r(n+1)}{(r+1)n}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ \left \lfloor \sqrt[3] {7n + 2} \right \rfloor = \left \lfloor \sqrt[3] {7n + 3} \right \rfloor $ eşitliğini sağlamayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninin $[AD]$ kenarı üzerinde bir $E$ noktası işaretleniyor. $AB$ ve $CE$ doğruları $F$ de; $BE$ ve $DF$ doğruları $G$ de kesişiyor. $m(\widehat{DAB}) = 60^\circ $ ise, $m(\widehat{DGB})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 50^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 60^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 65^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 75^\circ
$

Üç bileşik tek sayının toplamı olarak yazılabilen tüm tam karelerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \{(2k + 1)^2 : k \geq 0\}$
$\textbf{b)}\ \{(4k + 3)^2 : k \geq 1\}$
$\textbf{c)}\ \{(2k + 1)^2 : k \geq 3\}$
$\textbf{d)}\ \{(4k + 1)^2 : k \geq 2\}$
$\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Bir kasanın beş kilidine ait anahtarlar çoğaltılarak sekiz kişiye, bu sekiz kişiden herhangi beşinin birlikte kasayı açmalarını olanaklı kılacak biçimde dağıtılacaktır. Anahtarların toplam sayısı en az ne olmalıdır?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 20
\qquad\textbf{c)}\ 22
\qquad\textbf{d)}\ 24
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

$a_{2001} = 2002$ ve $0\leq k \leq 2000$ için $a_k = -k - 1$ ise, $x^{2002} + a_{2001}x^{2001} + a_{2000}x^{2000} + \cdots + a_1x + a_0$ polinomunun kaç pozitif kökü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1001
\qquad\textbf{e)}\ 2002
$

Bir $ABC$ üçgeninde $\widehat{CAB}$ nin açıortayı $BC$ yi $L$ de, $\widehat{ABC}$ nin açıortayı $AC$ yi $N$ de kesiyor. $AL$ ile $BN$ doğruları $O$ da kesişiyor. $|NL| = \sqrt 3$ ise, $|ON| + |OL|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt 3 
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$x^3 - 2x + 6 \equiv 0 \pmod {125}$ ve $0 \leq x < 125$ koşullarını sağlayan kaç $x$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$N \geq 2$ olmak üzere, $1, 2, \dots ,N$ sayıları bir çember etrafına diziliyor. Her sayı ondalık gösterimde her komşusuyla bir ortak rakama sahip ise, $N$ en az kaç olmalıdır?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 19
\qquad\textbf{c)}\ 28
\qquad\textbf{d)}\ 29
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$S = \dfrac 1{1^2} + \dfrac 1{2^2} + \dfrac 1{3^2} + \cdots + \dfrac 1{2001^2} + \dfrac 1{2002^2}$ ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$
\textbf{a)}\ 1\leq S < \dfrac 43
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 43 \leq S < 2
\qquad\textbf{c)}\ 2 \leq S < \dfrac 73
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 73 \leq S < \dfrac 52
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac 52 \leq S < 3
$

Bir $ABCD$ eşkenar dörtgeninde $m(\widehat{ABC}) = 40^\circ$, $[BC]$ nin orta noktası $E$ ve $A$ dan $DE$ ye indirilen dikmenin ayağı $F$ ise, $m(\widehat{DFC})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 100^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 110^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 115^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 120^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 135^\circ
$

$3n^2 + 3n + 7$ sayısının tam küp olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

Her $i = 0, 1, 2, \dots$ tam sayısı için, ağırlığı $2^i$ olan sekiz top bulunmaktadır. $n$ kutunun her birinin içine istenildiği kadar top konabiliyor. Her kutuya konulan topların ağırlıklarının toplamı aynıysa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

$a \neq -1$ olmak üzere, $a$ gerçel sayısı, $a^5 +5a^4 +10a^3 +3a^2 -9a-6 = 0$ eşitliğini sağlıyorsa, $(a + 1)^3$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 27
$