Tübitak Lise 1. Aşama - 2000

Alanı $a$ olan bir dik üçgenin iç teğet çemberi ile, alanı $b$ olan bir dik üçgenin çevrel çemberi aynı çember ise, $\dfrac ab$ en az nedir?

$
\textbf{a)}\ 3 + 2\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 1 + \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 2+\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 3
$

Aşağıdakilerden hangisi tam sayı katsayılı ikinci dereceden bir polinomun diskriminantı olamaz?

$
\textbf{a)}\ 23
\qquad\textbf{b)}\ 24
\qquad\textbf{c)}\ 25
\qquad\textbf{d)}\ 28
\qquad\textbf{e)}\ 33
$

$0, 1, 2, \dots , 9$ sayılarını, tek sayılar kendi içlerinde, çift sayılar da yine kendi içlerinde artan olmak koşuluyla, kaç değişik biçimde sıralayabiliriz?

$
\textbf{a)}\ 126
\qquad\textbf{b)}\ 189
\qquad\textbf{c)}\ 252
\qquad\textbf{d)}\ 315
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$(x\sqrt x)^x = x^{x\sqrt x}$ denkleminin gerçel çözümlerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {18}{7}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {71}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {9}{4}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {24}{19}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {13}{4}
$

Bir $ABC$ üçgeninde $[BD]$ kenarortay, $m(\widehat{ABD}) = 90^\circ$, $|AB|=2$ ve $|AC|=6$ ise, $|BC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 4\sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ 2\sqrt 6
$

$\sqrt {17p + 625}$ sayısının bir tam sayı olmasını sağlayan en büyük $p$ asal sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 67
\qquad\textbf{c)}\ 101
\qquad\textbf{d)}\ 151
\qquad\textbf{e)}\ 211
$

$A,B,C,D$ ve $E$ den bazıları doğrucu, bazıları da yalancıdır. Doğrucuların her söylediği doğru; yalancıların ise, her söylediği yalandır. $A$ nın doğrucu olduğunu ve diğerlerinin de aşağıdaki önermeleri söylediğini biliyoruz:

$B:$ Ben doğrucuyum.

$C:$ $D$, doğrucudur.

$D:$ $B$ ve $E$ ikisi birden doğrucu değildir.

$E:$ $A$ ve $B$ doğrucudur.

Bu toplulukta toplam doğrucu sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Veriler yetersizdir}
$

$\quad$
$\begin{array}{rcl}
(x+y)^5 &=& z \\
(y+z)^5 &=& x \\
(z+x)^5 &=& y \end{array}$
 
sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ gerçel sayı sıralı üçlüsü vardır?


$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABCDE$ dışbükey beşgeninde $m(\widehat{B}) = m(\widehat{D})=90^\circ$, $m(\widehat{C}) = 120^\circ$, $|AB|=2$, $|BC|=|CD|=\sqrt 3$ ve $|ED|=1$ olduğuna göre, $|AE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {3\sqrt 3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {2\sqrt 3}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt 3 - 1
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt 3
$

On tabanına göre yazılımı $50$ basamaklı olan bir $N$ tam sayısının soldan $26.$ basamağı dışındaki bütün basamaklarında $1$ rakamı bulunuyor ve $N$, $13$ ile bölünüyorsa, $N$ nin yazılımında soldan $26.$ rakam nedir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text {Veriler yetersizdir}
$

$7$ kırmızı, $7$ beyaz topu, her kutuda tam olarak $2$ top olması koşuluyla, $7$ kutuya kaç değişik biçimde dağıtabiliriz?

$
\textbf{a)}\ 163
\qquad\textbf{b)}\ 393
\qquad\textbf{c)}\ 858
\qquad\textbf{d)}\ 1716
\qquad\textbf{e)}\ \text {Hiçbiri}
$

$(a_n)$ dizisi, $a_1=1$ ve her $n\geq 2$ pozitif tam sayısı için $|a_n| = |a_{n-1}+2|$ koşullarını sağlıyorsa, $\sum\limits_{i=1}^{2000} a_i$ toplamının alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ -4000
\qquad\textbf{b)}\ -3000
\qquad\textbf{c)}\ -2000
\qquad\textbf{d)}\ -1000
\qquad\textbf{e)}\ \text {Hiçbiri}
$

Birbirine dıştan teğet olan $k_1$ ve $k_2$ çemberlerinin ortak dış teğet doğrularından biri $d$  olsun. $d$ nin $k_1$ çemberine değdiği nokta $A$, $k_1$ çemberinin $A$ dan geçen çapı $[AB]$, $B$ noktasından $k_2$ çemberine çizilen teğetin değme noktası $C$ ile gösterilmek üzere, $|AB|=8$ ve $k_2$ çemberinin çapı $7$ ise, $|BC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 5\sqrt 3
$

$9^{8^{7^{\cdot^{\cdot^{\cdot^2}}}}}$ sayısının on tabanına göre yazılımının son iki basamağı nedir?

$
\textbf{a)}\ 81
\qquad\textbf{b)}\ 61
\qquad\textbf{c)}\ 41
\qquad\textbf{d)}\ 21
\qquad\textbf{e)}\ 01
$

$A$, $B$ ve $C$, aralarında tavla oynarlar. Önce $A$ ile $B$ karşılaşır, kazanan $C$ ile oynar. Bundan sonra, parti devam ettiği sürece, oynanan son oyunu kazanan, o karşılaşmada oynamayan üçüncü kişi ile karşılaşır. Oyunculardan biri art arda iki kez kazanınca, parti sona erer ve ardışık iki oyunu kazanan partinin galibi olur. Her oyunda iki tarafın da kazanma olasılığı eşit ise, $C$ nin partiyi kazanma olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 27
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 13
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{3}{14}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 17
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$(2+(2+(2+x)^2)^2)^2 = 2000$ denkleminin gerçel kökleri toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ -4
\qquad\textbf{b)}\ -2
\qquad\textbf{c)}\ 0
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

Kenar uzunlukları $1,4,7,8$ olan bir dörtgenin alanı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 7\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 10 \sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 18
\qquad\textbf{d)}\ 12\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 9\sqrt 5
$

$1+2+2^2 + 2^3 + \dots + 2^n$ toplamının $77$ ile bölünmesini sağlayan en küçük $n\geq 100$ tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 101
\qquad\textbf{b)}\ 105
\qquad\textbf{c)}\ 111
\qquad\textbf{d)}\ 119
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Kenar uzunlukları $3$, $7$ ve $8$ olan bir üçgenin içinde gelişigüzel alınan bir noktadan, köşelerden en az birine olan uzaklığı $1$ den küçük olması olasılığı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{\pi}{36}\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\pi}{36}\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\pi}{36}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac 34
$

$p(x)$ tüm kökleri gerçel olan ve her $x$ gerçel sayısı için $p(x^2-1) = p(x)p(-x)$ eşitliğini sağlayan bir polinom ise, $p(x)$ in derecesi en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ p(x) \text{ in derecesi için üst sınır yoktur. }
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABCD$ dışbükey kirişler dörtgeninde $m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$, $m(\widehat{ABD})=45^\circ$, $|AB|=26$ ve $|BC|=10$ ise, $DAC$ üçgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 120
\qquad\textbf{b)}\ 108
\qquad\textbf{c)}\ 90
\qquad\textbf{d)}\ 84
\qquad\textbf{e)}\ 80
$

$$\begin{array}{rcl}
3x^2 - 2y^2 - 4z^2 + 54 &=& 0 \\
5x^2 - 3y^2 - 7z^2 + 74 &=& 0
\end{array}$$ sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ pozitif tam sayı sıralı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$20$ kişilik bir komite, $A$, $B$, $C$ adayları arasından bir seçim yapmak için değişik türden bir oylamaya başvurur. Her komite üyesi, adaylara ilişkin tercih sıralmasını, herhangi iki aday arasında çekimser kalmaksızın, oy pusulasına yazar. (Örneğin, pusulaya $BAC$ yazan üye, $B$ yi $A$ ya ve $C$ ye; $A$ yı da $C$ ye tercih ediyor demektir.) Oy pusulaları açılınca, üç adayın altı değişik sıralanışından her birinin en az bir pusulada geçtiği ve tam olarak $11$ üyenin $A$ yı $B$ ye; $12$ üyenin $C$ yi $A$ ya; $14$ üyenin de $B$ yi $C$ ye tercih ettiği görülür. Kaç komite üyesinin birinci tercihi $B$ dir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ \text{Veriler yetersizdir}
$

$a,b,c,d,e$ negatif olmayan gerçel sayılar ve $a+b+c+d+e>0$ olmak üzere, $a+c=tb$, $b+d=tc$, $c+e=td$ koşullarını sağlayan en küçük gerçel $t$ sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{\sqrt 2}{2}
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

Alanı $18$ olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde, $|AB|+|BD|+|DC|=12$ ise, $|AC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 6\sqrt 2
$

$f(x) = x^3 + 7x^2 + 9x + 10$ ise,
$$f(a) \equiv f(b) \pmod p \Rightarrow a\equiv b \pmod p$$ gerektirmesinin tüm $a,b$ tam sayıları için doğru olmasını $p$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi sağlar?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 11
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 17
$

$\{1,2,3,4,5\}$ kümesinin, her $1\leq k \leq 4$ için $(\alpha_1\dots \alpha_k)$, $\{1,\dots, k\}$ kümesinin bir permütasyonu olmayacak şekilde kaç değişik $(\alpha_1\alpha_2\alpha_3\alpha_4\alpha_5)$ permütasyonu vardır?

$
\textbf{a)}\ 13
\qquad\textbf{b)}\ 65
\qquad\textbf{c)}\ 71
\qquad\textbf{d)}\ 461
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\begin{array}[t]{lll}f_1(x) = x^2 +x & f_2(x) = 2x^2 -x & f_3(x) = x^2 +x\\
g_1(x) = x -2 & g_2(x) = 2x & g_3(x) = x+2\end{array}$

olmak üzere, fonksiyonlar üzerinde tanımlı toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri kullanılarak, $i\in\{1,2,3\}$ olmak üzere $f_i$ ve $g_i$ fonksiyonlarından $h(x)=x$ fonksiyonu elde edilebiliyorsa, $F_i = 1$; aksi halde $F_i = 0$ olarak tanımlanıyor. $(F_1, F_2, F_3)$ nedir?

$
\textbf{a)}\ (0,0,0)
\qquad\textbf{b)}\ (0,0,1)
\qquad\textbf{c)}\ (0,1,0)
\qquad\textbf{d)}\ (0,1,1)
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$O_1$ ve $O_2$ merkezli birbirine dıştan teğet iki çemberin ortak dış teğet doğrularından biri çemberlere sırasıyla $B$ ve $C$ noktalarında değiyor. Çemberlerin ortak noktası $A$ olmak üzere $BA$ doğrusu $O_2$ merkezli çemberi $A$ ve $D$ noktalarında kesiyor. $|BA|=5$ ve $|AD|=4$ ise $|CD|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \sqrt {20}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{27}
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{15}{2}
\qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt 5
$

$0\leq x, y < 31$ olmak üzere, $(x^2-18)^2 \equiv y^2 \pmod {31}$ denkliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı sıralı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 59
\qquad\textbf{b)}\ 60
\qquad\textbf{c)}\ 61
\qquad\textbf{d)}\ 62
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Tüm basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı olan ve $11111$ ile bölünen on basamaklı kaç tam sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1264
\qquad\textbf{c)}\ 2842
\qquad\textbf{d)}\ 3456
\qquad\textbf{e)}\ 11111
$

Tüm $x,y$ pozitif gerçel sayıları için
$$f(x)f(y)-f(xy) = \dfrac yx + \dfrac xy$$ koşulunu sağlayan $f$ fonksiyonlarının alabileceği farklı $f(2)$ değerlerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 52
\qquad\textbf{b)}\ -\dfrac 54
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 54
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABCD$ karesinin $[AB]$ kenarı üstünde bir $K$ noktası, $[BC]$ kenarı üstünde de bir $L$ noktası alınıyor. $|AK|=3$, $|KB|=2$ ve $K$ nin $DL$ doğrusuna uzaklığı $3$ ise, $|BL|:|LC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 78
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {\sqrt 3}2
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 87
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 38
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{\sqrt 2}{2}
$

Aşağıdaki önermelerden hangisi, en az bir $p$ asal sayısı için doğru değildir?

$ \textbf{a)}$ $\begin{array}[t]{l} x^2 +x + 3 \equiv 0 \pmod p \text{ denkliğinin çözümü varsa},\\ x^2+x+25 \equiv 0 \pmod p \text{ denkliğinin de çözümü vardır}.\end{array}$

$\textbf{b)}$ $\begin{array}[t]{l} x^2 +x + 3 \equiv 0 \pmod p \text{ denkliğinin çözümü yoksa},\\ x^2+x+25 \equiv 0 \pmod p \text{ denkliğinin de çözümü yoktur}.\end{array}$

$\textbf{c)}$ $\begin{array}[t]{l} x^2 +x + 25 \equiv 0 \pmod p \text{ denkliğinin çözümü varsa},\\ x^2+x+3 \equiv 0 \pmod p \text{ denkliğinin de çözümü vardır}.\end{array}$

$\textbf{d)}$ $\begin{array}[t]{l} x^2 +x + 25 \equiv 0 \pmod p \text{ denkliğinin çözümü yoksa},\\ x^2+x+3 \equiv 0 \pmod p \text{ denkliğinin de çözümü yoktur}.\end{array}$

$\textbf{e)}$ $\text { Hiçbiri}$

$S=\{1,2,\dots, 32\}$ olmak üzere; $S$ nin hangi $k$ elemanlı $A$ altkümesini alırsak alalım, $A$ kümesinde, $a,b$ yi; $b$ de $c$ yi bölecek şekilde farklı $a,b,c$ sayılarının bulunmasını sağlayan en küçük $k$ değeri nedir?

$
\textbf{a)}\ 17
\qquad\textbf{b)}\ 24
\qquad\textbf{c)}\ 25
\qquad\textbf{d)}\ 29
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x_1 = -1$ ve her $n$ pozitif tam sayısı için $x_{n+1} = \left(1+\dfrac 2n\right)x_n + \dfrac 4n$ ise, $x_{2000}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 1999998
\qquad\textbf{b)}\ 2000998
\qquad\textbf{c)}\ 2009998
\qquad\textbf{d)}\ 2000008
\qquad\textbf{e)}\ 1999999
$