Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=14$, $|BC|=12$, $|AC|=10$ ve $D$, $[AC]$ üstünde bir nokta olmak üzere, $|AD|=4$ tür. $E$, $[BC]$ üstünde bir nokta ve $Alan(ABC)=2\cdot Alan(CDE)$ ise, $Alan(ABE)$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4 \sqrt 6
\qquad\textbf{b)}\ 6 \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 3 \sqrt 6
\qquad\textbf{d)}\ 4 \sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ 4 \sqrt 5
$

$xy = 4(y^2+x)$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 14
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

En fazla $3, 5, 7$ ve $8$ top alabilen dört kutuya birbirinin aynı olan $19$ top kaç farklı şekilde dağıtılabilir?

$
\textbf{a)}\ 34
\qquad\textbf{b)}\ 35
\qquad\textbf{c)}\ 36
\qquad\textbf{d)}\ 40
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$\dfrac{\sin^3 x}{\cos x} + \dfrac{\cos^3 x}{\sin x}  \geq k$ eşitsizliğini her $x\in (0, \tfrac{\pi}{2})$ için sağlayan en büyük $k$ değeri kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 34
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|=10$ ve $|BC|=12$ dir. $[BC]$ üstünde $|BP|=|RC|=3$ olacak şekilde $P$ ve $R$ noktaları alınıyor. $S$ ve $T$ sırasıyla $AB$ ve $AC$ nin orta noktaları olmak üzere, $PT$ ye $S$ ve $R$ den inilen dikme ayakları, $M$ ve $N$ ise, $|MN|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{9\sqrt{13}}{26}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{12-2\sqrt{13}}{13}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\sqrt{13}+20}{13}
\qquad\textbf{d)}\ 15 \sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{10\sqrt{13}}{13}
$

$a, b, c$ tam sayılar olmak üzere,
$$ \begin{array}{rcl}
x &\equiv& a \pmod {14} \\
x &\equiv& b \pmod {15} \\
x &\equiv& c \pmod {16} \\
\end{array}
$$
denklik sistemini ve $0 \leq x < 2000$ koşulunu sağlayan $x$ tam sayılarının sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Üstlerinde $1, 1, 3, 4, 4$ ve $5$ yazılı altı kart bir torbaya konur. Torbadan rastgele, sırayla ve çekilenler geri konmaksızın üç kart çekilip, üstlerindeki rakamlardan çekiliş sırasına göre oluşturulan üç basamaklı sayının $3$ e bölünme olasılığı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 15
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 25
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 37
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$P(x)$ polinomu her $x$ gerçel sayısı için $2P(x) = P(x+3) + P(x-3)$ koşulunu sağlıyorsa, $P$ nin derecesi en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Köşeleri bir çember üzerinde bulunan dışbükey bir sekizgenin dört kenarının uzunluğu $2$, diğer dört kenarının uzunluğu da $6\sqrt 2$ ise, bu sekizgenin alanı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 120
\qquad\textbf{b)}\ 24 + 68\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 88\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 124
\qquad\textbf{e)}\ 72\sqrt 3
$

En büyük ortak bölenleri $n$ olan tüm $a, b, c$ tam sayıları için
$$ \begin{array}{rcl}
x + 2y + 3z &=& a \\
2x + y - 2z &=& b \\
3x + y + 5z &=& c
\end{array}$$
denklem sisteminin $x, y, z$ tam sayılar olmak üzere çözümünün bulunmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı nedir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 28
\qquad\textbf{d)}\ 56
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$1$ den $10$ a kadar olan tam sayılar, yandaki şekildeki on kutuya yerleştiriliyor. En üst sıradakiler dışında her kutudaki sayı, hemen üstündeki iki kutuda bulunan sayıların farkına eşitse, en alttaki kutuya yerleştirilen sayı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

$$x^2 + y^2 + z^2 = 21$$ $$x + y + z + xyz = -3$$ $$x^2yz + y^2xz + z^2xy = -40$$ denklem sistemini sağlayan kaç $(x, y, z)$ gerçel sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ A}) = 90^\circ$, $|AB|=\sqrt {12}$ ve $|AC|=2$ olmak üzere, bu üçgenin dışına doğru $BEDC$ karesi kurulduğunda, karenin merkezi $F$, $[AF] \cap [BC] = {G}$ ise, $|BG|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6-2\sqrt 3
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt 3 - 1
\qquad\textbf{c)}\ 2 + \sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 4 - \sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 5 - 2\sqrt 2
$

$72$ tane pozitif böleni olan en küçük pozitif tam sayının on tabanına göre yazılımındaki rakamların karelerinin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 41
\qquad\textbf{b)}\ 65
\qquad\textbf{c)}\ 110
\qquad\textbf{d)}\ 123
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$3 \times 3$ lük bir tahtadaki dokuz kareden dördü, ikisi kırmızı, ikisi maviye olmak üzere ve aynı renkte iki kare ne aynı satır ne de aynı sütunda yer alacak biçimde boyanıyor. Bu boyama işlemi kaç değişik biçimde yapılabilir?

$
\textbf{a)}\ 198
\qquad\textbf{b)}\ 288
\qquad\textbf{c)}\ 396
\qquad\textbf{d)}\ 576
\qquad\textbf{e)}\ 792
$

$y = \sqrt {x^2 + \dfrac {1}{1999}}$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ rasyonel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

Tabanı $ABC$ eşkenar üçgeni ve tepe noktası $T$ olan bir düzgün piramidin $[AB]$, $[BC]$, $[CT]$, $[TA]$ ayrıtlarının orta noktaları sırasıyla $P, Q, R, S$ ile gösterilmek üzere, bu piramidin cisim yüksekliği $2\sqrt {15} $ ve $|AB|=6$ ise, $Alan(PQRS)$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4\sqrt {15}
\qquad\textbf{b)}\ 8 \sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 8 \sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 6 \sqrt 5
\qquad\textbf{e)}\ 9 \sqrt 2
$

$t_k(n)$ ile $n$ pozitif tam sayısının on tabanına göre yazılımındaki rakamların $k$ inci kuvvetlerinin toplamını gösterelim. Aşağıdaki $k$ değerlerinden hangisi için, $3$ ün $t_k(n)$ yi bölmesi $3$ ün $n$ yi bölmesini gerektirmez?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 9
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$2 \times 5$ lik bir satranç tahtasının üst sırasında sol köşeden itibaren ardışık $k$ kareye siyah pullar konmuştur. Boş olan karelere istediğimiz sırayla beyaz pullar koyuyoruz. En az bir ortak köşeye sahip iki kare komşu sayılmak üzere, her beyaz pul konduğunda, komşu karelere daha önceden konmuş olan pılların rengi, beyazsa siyaha, siyahsa beyaza dönüşüyor. $k$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için tüm kareler dolduğunda pulların hepsi beyaz olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$x^4-2^{-y^2}x^2 - \lfloor x^2 \rfloor  + 1 = 0 $ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{BAC}) = 10^\circ$ ve $m(\widehat{ABC}) = 150^\circ$ dir. $[AC]$ üstünde $|AX|=|BC|$ olacak şekilde $X$ noktası alınıyor. $m(\widehat{BXC})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 15
\qquad\textbf{b)}\ 20
\qquad\textbf{c)}\ 25
\qquad\textbf{d)}\ 30
\qquad\textbf{e)}\ 35
$

Aşağıdaki sayılardan hangisi, $m$ ve $n$ tam sayılar olmak üzere, $m^2+3mn-4n^2$ şeklinde ifade edilemez?

$
\textbf{a)}\ 69
\qquad\textbf{b)}\ 76
\qquad\textbf{c)}\ 91
\qquad\textbf{d)}\ 94
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Saat kısmı $1$ den $12$ ye kadar olan sayıları gösteren dijital bir saatin, dakika kısmı doğru çalışmakta, ancak saat kısmı bir bozukluk sonucu, saat başlarında $n:59$ dan sonra, ($n+1$ ve $2n$, $\bmod {12}$ düşünülmek üzere), $(n+1):00$ olacağına, $2n:00$ a atlamaktadır. (Örneğin, saat, $7:00$ a ayarlanırsa, bir saat sonra $8:00$ yerine $2:00$ olmaktadır.) Saati gelişi güzel bir zamana ayarlar ve aradan bir gün geçtikten sonra saate bakarsak, saat kısmının $4$ ü gösteriyor olma olasılığı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{12}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$f(x)$ polinomu her $x$ gerçel sayısı için $(x-1)f(x+1) - (x+2)f(x)=0$ koşulunu sağlıyor. $f(2)=6$ ise, $f(\frac 32)$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -6
\qquad\textbf{b)}\ 0
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {15}8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$ABC$ üçgeninde $m(\widehat{A}) = 80^\circ$ ve $|AB|=|AC|$ dir. $[AB]$ üstünde $K$ ve $[AB$ üstünde $L$ noktaları, $|AB|^2 =|AK|\cdot |AL|$ ve $|BL|=|BC|$ olacak şekilde alınıyor. $m(\widehat{KCB})$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 20
\qquad\textbf{b)}\ 25
\qquad\textbf{c)}\ 30
\qquad\textbf{d)}\ 35
\qquad\textbf{e)}\ 40
$

$x, y, z$ tam sayıları
$$ \begin{array}{rcl}
x - 3y + 2z &=& 1 \\
2x + y - 5z &=& 7
\end{array}$$ denklem sistemini sağlıyorsa $z$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$
\textbf{a)}\ 3^{111}
\qquad\textbf{b)}\ 4^{111}
\qquad\textbf{c)}\ 5^{111}
\qquad\textbf{d)}\ 6^{111}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Kenar uzunluğu $c$ olan bir karenin noktaları kırmızı ya da maviye boyanıyor. Bu boyama nasıl yapılırsa yapılsın, aralarındaki uzaklık en az $\sqrt 5$ olan aynı renkte iki nokta bulunuyorsa, $c$ nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {\sqrt {10}}2
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 5
\qquad\textbf{d)}\ 2 \sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Pozitif gerçel sayılar üzerinde tanımlı, $f(1)=1$ koşulu ile tüm $x, y$ gerçel sayıları için $f(x^2y^2)=f(x^4+y^4)$ koşulunu sağlayan kaç $f$ fonksiyonu vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

Yüksekliği $3$ olan $ABC$ eşkenar üçgeninin $[BC]$ kenarına orta noktasında teğet olan ve diğer kenarları da kesen $2$ yarıçaplı çember çiziliyor. $AB$ ve $AC$ nin çemberi üçgenin dışında kestiği noktalar $D$ ve $E$ olmak üzere, $Alan(ABC)$ nin $Alan(ADE)$ ye oranı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 2(5+\sqrt 3)
\qquad\textbf{b)}\ 7\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt 3
\qquad\textbf{d)}\ 2(3+\sqrt 5)
\qquad\textbf{e)}\ 2(\sqrt 3 + \sqrt 5)
$

Her $0 \leq i \leq 9$ için $a_i \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ olmak üzere, $6 \displaystyle {\sum_{i=0}^{9}} a_i5^i \equiv 1 \pmod {5^{10}}$ ise, $a_9$ aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

Birbirinin aynı olan $30$ top, $A$ ve $B$ deki topların toplam sayısı, $C$ ve $D$ dekilerin toplam sayısından fazla olmak üzere, $A, B, C, D$ kutularına kaç değişik biçimde dağıtılabilir?

$
\textbf{a)}\ 2472
\qquad\textbf{b)}\ 2600
\qquad\textbf{c)}\ 2728
\qquad\textbf{d)}\ 2856
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$(a_n)_{n=1}^{\infty}$ gerçel sayılar dizisi, her $n\geq 1 $ için $a_{n+1}=a_na_{n+2}$ koşulunu sağlıyorsa, $\{a_n:n\geq 1\}$ kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$|AC|=8\sqrt 2$; $[AC]$ nın orta noktası $B$; $[AB]$ nı kiriş kabul eden bir çemberin $AB$ yayının orta noktası $E$; $C$ noktasından bu çembere çizilen teğetin değme noktası da, ($D$ ile $E$, $AB$ doğrusunun ters taraflarında olmak üzere) $D$ dir. $[DE] \cap [AB] = \{F\}$ ise, $|CF|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt 3
$

Kaç $p$ asal sayısı için, $x^3-x+2\equiv (x-r)^2(x-s) \pmod p$ denkliğinin tüm $x$ tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan $r, s$ tam sayıları bulunabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

$13$ kent arasında, karşılıklı olması gerekmeyen uçak seferleri yapılıyor. $k \geq 2$ olmak üzere, $A_1$ den $A_2$ ye, $A_2$ den $A_3$ e, $\dots$, $A_{k-1}$ den $A_k$ ye ve $A_k$ den $A_1$ e uçak seferi varsa, $A_1, A_2, \dots , A_k$ dizisine bir çevrim diyelim. Seferler hangi kentler arasında olursa olsun, bir çevrimin oluşmasını gerektiren en küçük toplam sefer sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 14
\qquad\textbf{b)}\ 53
\qquad\textbf{c)}\ 66
\qquad\textbf{d)}\ 79
\qquad\textbf{e)}\ 156
$

$x_1, \dots , x_9$ gerçel sayıları, $i=1,2\dots, 9$ için $|x_i| \leq 1$ ve $\displaystyle{\sum_{i=1}^9} x_i^3 = 0 $ koşullarını sağlıyorsa, $\displaystyle{\sum_{i=1}^9} x_i$  toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 92
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$