Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2013 Çözümleri

1

$x+y+z = 0$ ve $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ koşullarını sağlayan $x,y,z$ gerçel sayıları için, $$\left|(x-y)(y-z)(z-x)\right|$$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

(Fehmi Emre Kadan)

2

$p^4 + 2p + q^4 + q^2 = r^2 + 4q^3 + 1$ eşitliğini sağlayan tüm $(p,q,r)$ asal sayı üçlülerini bulunuz.

(Şahin Emrah)

3

$|AC|>|AB|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında teğet olan bir çember, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. Sırasıyla, $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde yer alan $X$ ve $Y$ noktaları $$\dfrac {|AX|}{|AB|} = \dfrac {|CE|}{|BD| + |CE|} \text { ve } \dfrac {|AY|}{|AC|} = \dfrac {|BD|}{|BD| + |CE|}$$ eşitliklerini sağlıyorsa, $XY$, $BC$, $KL$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)

4

Aybike bir çemberin çevresine istediği tek sayıda kutuyu yerleştirip, $2013$ boncuğu bu kutulardan bazılarına istediği biçimde dağıtıyor. Sonra Berk bu kutulardan birini seçiyor. Daha sonra da Aybike, Berk'in seçmediği kutulardan yarısını herhangi ikisi ardışık olmayacak biçimde seçiyor. Aybike seçtiği kutularda $k$ tane boncuk olmasını garantileyebiliyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

(Azer Kerimov)

Çözüm:

Cevap: $\boxed {1342}$

İlk önce Aybike’nin $1342$ boncuk alabileceğini gösterelim. Bunun için Aybike, çember etrafına $9$ kutu yerleştiriyor ve kutuları saat yönünde $1, 2, \ldots, 9$ olarak numaralandırıyor. Aybike, $1$, $4$ ve $7$ numaralı kutuların her birine $671$ boncuk koyuyor. Berk’in her seçiminde, Aybike’nin iki tane boş olmayan kutuyu seçebileceği açıktır.

Şimdi, Aybike’nin $1342$’den daha fazla boncuğu almayı garantilemesinin imkansız olduğunu gösterelim. Bir $2m + 1$ sayısı için boncukların uygun şekilde dağıtılarak bunun yapılabileceğini varsayalım. Kutuları saat yönünde $1, \ldots, 2m + 1$ olarak numaralandıralım. Aybike’nin seçmediği kutulardan yalnızca iki tanesi birbirine komşu olacaktır. Genelliği bozmadan, bu kutuların numaraları $2m + 1$ ve $1$ olsun.

Aybike tarafından seçilen kutular A türü kutu, seçilmeyen kutular ise B türü kutu olarak adlandıralım. Varsayıma göre, A türü kutulardaki toplam boncuk sayısı $1342$’den fazla olacaktır. Buna göre, $1 < i \leq t$ numaralı A türü kutularda toplam boncuk sayısı en az $672$ ve $t \leq i < 2m + 1$ numaralı A türü kutularda toplam boncuk sayısı en az $672$ şeklinde bir $t$ numarası bulunacaktır. Bu durumda, Berk başlangıçta $t$ numaralı kutuyu seçerse, ya $1 < i \leq t$ numaralı ya da $t \leq i < 2m + 1$ numaralı A türü kutuların tümü Aybike tarafından seçilemez ve sonuç olarak Aybike’nin seçtiği kutularda en fazla $1341$ boncuk bulunmuş olur. Bu çelişki, sorunun çözümünü tamamlıyor.

Kaynak Tübitak Ortaokul Matematik İkinci Aşama Çözümleri - 2013