Tübitak Ortaokul 2. Aşama - 2013

$x+y+z = 0$ ve $x^2 + y^2 + z^2 = 6$ koşullarını sağlayan $x,y,z$ gerçel sayıları için, $$\left|(x-y)(y-z)(z-x)\right|$$ ifadesinin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.

$p^4 + 2p + q^4 + q^2 = r^2 + 4q^3 + 1$ eşitliğini sağlayan tüm $(p,q,r)$ asal sayı üçlülerini bulunuz.

$|AC|>|AB|$ koşulunu sağlayan bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarına sırasıyla, $D$ ve $E$ noktalarında teğet olan bir çember, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $K$ ve $L$ noktalarında kesiyor. Sırasıyla, $[AB]$ ve $[AC]$ kenarları üstünde yer alan $X$ ve $Y$ noktaları $$\dfrac {|AX|}{|AB|} = \dfrac {|CE|}{|BD| + |CE|} \text { ve } \dfrac {|AY|}{|AC|} = \dfrac {|BD|}{|BD| + |CE|}$$ eşitliklerini sağlıyorsa, $XY$, $BC$, $KL$ doğrularının noktadaş olduğunu kanıtlayınız.

Aybike bir çemberin çevresine istediği tek sayıda kutuyu yerleştirip, $2013$ boncuğu bu kutulardan bazılarına istediği biçimde dağıtıyor. Sonra Berk bu kutulardan birini seçiyor. Daha sonra da Aybike, Berk'in seçmediği kutulardan yarısını herhangi ikisi ardışık olmayacak biçimde seçiyor. Aybike seçtiği kutularda $k$ tane boncuk olmasını garantileyebiliyorsa, $k$ nin alabileceği en büyük değeri belirleyiniz.