Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1959

Hiçbir $n$ doğal sayısı için $\dfrac{21n+4}{14n+3}$ kesrinin sadeleşmeyeceğini gösteriniz.

$$\sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A$$ denkleminin gerçel köklerini $(a)  A=\sqrt{2} ,  (b)  A=1 , (c)  A=2$ iken bulunuz. (Karekök içerisindeki ifadelerin negatif olmadığını varsayın.)

$a,b,c$ gerçel sayılar olmak üzere, $$a\ \cos^{2}x+b\ \cos{x}+c=0$$ denklemi $\cos{x}$ e göre ikinci dereceden bir denklem olsun. $a,b,c$ sayılarını kullanarak kökleri başlangıçtaki denklemle aynı olan $\cos2x$ e göre ikinci dereceden bir denklem oluşturunuz. $a=4 , b=2 , c=-1$ değerleri için $\cos x$ ve $\cos 2x$ türünden olan denklemleri karşılaştırınız.

Hipotenüsü $c=\text{Sabit}$, hipotenüse ait kenarortayı da dik kenarlarının geometrik ortalamasına eşit olan dik üçgeni çiziniz.

$AB$ doğru parçasının üzerinde bir $M$ hareketli noktası alınıyor. $AMCD$ ve $MBEF$ kareleri, $AB$ ye göre aynı tarafta yer alacak şekilde oluşturuluyor. Bu kareleri çevreleyen $P$ ve $Q$ merkezli çemberler, $M$ haricinde bir $N$ noktasında kesişiyor. $AF$ ile $BC$ doğrularının kesişimi $N'$ ise,

• $N$ ve $N'$ noktalarının çakıştığını gösteriniz.
• $MN$ doğrularının $M$ seçiminden bağımsız sabit bir $S$ noktasından geçtiğini gösteriniz.
• $M$, $A$ ve $B$ arasında değişirken, $PQ$ doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.

$P$ ve $Q$ düzlemleri bir $p$ doğrusu boyunca kesişiyor. Hiçbirisi $p$ üzerinde yer almayan, $P$ düzleminde bir $A$ ve $Q$ düzleminde bir $C$ noktası veriliyor. $AB \parallel CD$ olacak şekilde aynı zamanda teğetler dörtgeni olan $ABCD$ ikizkenar yamuğunu, $B$ ve $D$ sırasıyla $P$ ve $Q$ düzlemlerinde olacak şekilde çiziniz.