Geomania.Org Forumları

Şu özelliği sağlayan sonsuz çoklukta $a$ doğal sayısının olduğunu gösteriniz: $z=n^4+a$ sayısı, $n$ doğal sayısının hiçbir değeri için asal değildir.

$a_1, a_2, \dots, a_n$ gerçel sabitleri ve $x$ gerçel değişkeni için $$ f(x)=\cos(a_1+x)+{\frac 12}\cos(a_2+x)+{\frac 14}\cos(a_3+x)+\cdots+{\frac 1{2^{n-1}}}\cos(a_n+x) $$ şeklinde tanımlanıyor. $f(x_1) = f(x_2)=0$ ise, $x_2 - x_1 = m\pi$ olacak şekilde bir $m$ tam sayısının bulunduğunu gösteriniz.

Her $k=1,2,3,4,5$ değeri için, $k$ tane ayrıtının uzunluğu $a$ ve geri kalan $6-k$ ayrıtının uzunluğu $1$ olan bir dörtyüzlünün var olması için; $a>0$ sayısı hakkında gerek ve yeter koşulları bulunuz.

$AB$ çaplı $\gamma$ yarım çemberi veriliyor. $C$, $\gamma$ üzerinde $A$ ve $B$ den farklı bir nokta; $D$ de $C$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağıdır. Üçü de $AB$ doğrusuna teğet olan $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$ çemberlerini ele alalım. Bunlardan $\gamma_1$, $\triangle ABC$'nin kenarlarına teğet, $\gamma_2$ ve $\gamma_3$ de $\gamma$ ve $CD$ ye teğet olup $CD$ ye göre farklı taraflarda yer almaktadır. $\gamma_1$, $\gamma_2$ ve $\gamma_3$ ün ikinci bir ortak teğetinin olduğunu kanıtlayınız.

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan $n>4$ nokta veriliyor. Bu noktaların oluşturduğu en az $\binom{n-3}{2}$ dışbükey çokgenin bulunabileceğini gösteriniz.

$x_1 > 0$, $x_2 > 0$, $x_1y_1 - z_1^2 > 0$, $x_2y_2-z_2^2 > 0$ şartını sağlayan tüm $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ gerçel sayıları için $$\frac8{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2} \leq \frac 1{x_1y_1-z_1^2} + \frac1{x_2y_2-z_2^2}$$ eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz. Eşitliğin sağlanması için gerek ve yeter koşulları veriniz.