Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1968 Çözümleri
« 1967 1969 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1968 Çözümleri

1
Kenar uzunlukları ardışık tam sayılar olan ve açılarından biri diğerinin iki katı olan, bir ve yalnız bir üçgenin bulunduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
Öncelikle aşağıdaki lemmayı ispatlayalım:

Lemma: Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{B})=2m(\widehat{C})$ ise $b^2=c^2+ac$ dir.

İspat: $[CB]$ doğru parçasının $B$ yönünde uzantısı üzerinden $|AB|=|BD|=c$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $DAC$ üçgeni ikizkenar olup $|AD|=|AC|=b$ dir. $ABD \sim DAC$ benzerliğinden $\dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|DB|}{|AD|}$ olup $b^2=c^2+ac$ elde edilir.

Şimdi ana problemimize dönelim. Büyük açının gördüğü kenar daha uzun olduğundan $b>a$ dır. $b^2=c^2+ac$ bağıntısından dolayı $b>c$ dir. O halde üçgenin kenar uzunlukları $x,x+1,x+2$ tamsayıları ise $b=x+2$ dir.

1. Durum: $a=x$, $c=x+1$ ise $(x+2)^2=(x+1)^2+x(x+1)$ olup $x^2-x-3=0$ denklemi elde edilir. Bu denklemin tamsayı kökü yoktur.

2. Durum: $a=x+1$, $c=x$ ise $(x+2)^2=x^2+x(x+1)$ olup $x^2-3x-4=0$ denklemi elde edilir. Buradan $x=4$ bulunur. Yani istenen özellikte bir tek $ABC$ üçgeni vardır ve $a=5$, $b=6$, $c=4$ kenar uzunluklarına sahiptir.
2
Ondalık yazımındaki rakamların çarpımı, $x^2-10x-22$ ye eşit olan tüm $x$ doğal sayılarını bulunuz.
Çözüm:
Kaba bir ispatla sayının $2$ veya $3$ basamaklı olduğunu gösterelim.

Varsayalım ki $x$ sayısı $n$ basamaklı olsun.

$x^2\ge 10^{2n-2}$ olduğundan $2n-1$ basamaklı en küçük sayıdır ve diğer $2$ terim negatif olduğu için basamaklar çarpımının minimum değeri $x^2-10x-22 > 10^{2n-3}$

Sayının basamaklar çarpımının maximum değeri ise $n$  tane $10$ çarpılmış olsaydı bile $10^n$ olurdu.

Basamaklar çarpımının maximum değeri minimum değerinden büyük veya tek değer alabiliyorsa eşit olacağından dolayı $10^n > 10^{2n-3}$  yani $n < 3$ bulunur. 

$x$ tek basamaklı ise $x=x^2-10x-22$  olacağından dolayı $\bigtriangleup$ tamkare olmadığından çözüm gelmez.

$x$ iki basamaklı ise $x=ab$  alalım.  $a.b=(10a+b)^2-10.(10a+b)-22$
 
$a\ge 2$ için  $b$  rakam olmak üzere

$$100a^2+19ab+b^2-100a-10b-22>0$$

olduğundan denklemin çözümü yoktur. $a=1$ olmalıdır.

$b^2+9b-22=0$  bulunur. Çözülürse $b=2$  bulunur. $x=12$  sağlar. 
3
$a \neq 0,b,c$ gerçel sayılar olmak üzere; $x_1,x_2, \dots, x_n$ bilinmeyenleri için $$\begin{array}{rcl}
ax_1^2+ bx_1 + c &=& x_2 \\
ax_2^2+ bx_2 + c &=& x_3 \\
&& \dots \\
ax_{n-1}^2+ bx_{n-1} + c &=& x_n \\
ax_{n}^2+ bx_{n} + c &=& x_1
\end{array}$$ tanımlanan denklem sistemini ele alalım. $\Delta = (b-1)^2 - 4ac$ olsun. Bu sistemin,
4
Her dörtyüzlüde, uzunlukları bir üçgenin kenarları olabilen, üç ayrıtının birleştiği bir köşenin varlığını kanıtlayınız.
5
Tüm gerçel $x$ sayıları için tanımlı, gerçel değerli $f$ fonksiyonu, bir $a$ sabiti için ve tüm $x$ sayıları için $$f(x+a) = \frac 12 + \sqrt{f(x) - \left[f(x)\right]^2}$$ eşitliğini sağlıyor.
6
Her $n$ doğal sayısı için, $$\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \dfrac {n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[ \dfrac {n+1}{2}\right] +\left[ \dfrac {n+2}{4}\right] + \dots + \left[ \dfrac {n+2^k}{2^{k+1}}\right]+ \cdots $$ toplamını hesaplayınız.( $[ x ]$  ile,  $x$ i aşmayan en büyük tam sayıyı gösteriyoruz.)