Kenar uzunlukları ardışık tam sayılar olan ve açılarından biri diğerinin iki katı olan, bir ve yalnız bir üçgenin bulunduğunu kanıtlayınız.

Ondalık yazımındaki rakamların çarpımı, $x^2-10x-22$ ye eşit olan tüm $x$ doğal sayılarını bulunuz.

$a \neq 0,b,c$ gerçel sayılar olmak üzere; $x_1,x_2, \dots, x_n$ bilinmeyenleri için $$\begin{array}{rcl}
ax_1^2+ bx_1 + c &=& x_2 \\
ax_2^2+ bx_2 + c &=& x_3 \\
&& \dots \\
ax_{n-1}^2+ bx_{n-1} + c &=& x_n \\
ax_{n}^2+ bx_{n} + c &=& x_1
\end{array}$$ tanımlanan denklem sistemini ele alalım. $\Delta = (b-1)^2 - 4ac$ olsun. Bu sistemin,

• $\Delta < 0$ ise, çözümünün olmadığını,
• $\Delta = 0$ ise, tam olarak bir çözümünün olduğunu,
• $\Delta > 0$ ise, birden fazla çözümünün olduğunu gösteriniz.

Her dörtyüzlüde, uzunlukları bir üçgenin kenarları olabilen, üç ayrıtının birleştiği bir köşenin varlığını kanıtlayınız.

Tüm gerçel $x$ sayıları için tanımlı, gerçel değerli $f$ fonksiyonu, bir $a$ sabiti için ve tüm $x$ sayıları için $$f(x+a) = \frac 12 + \sqrt{f(x) - \left[f(x)\right]^2}$$ eşitliğini sağlıyor.

• $f$ fonksiyonunun periyodik olduğunu (tüm $x$ sayıları için $f(x+b)=f(x)$ olacak şekilde bir $b$ pozitif sayısının bulunduğu) gösteriniz.
• $a=1$ için, gerekli şartları sağlayan sabit olmayan bir fonksiyon örneği veriniz.

Her $n$ doğal sayısı için, $$\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \dfrac {n+2^k}{2^{k+1}}\right] = \left[ \dfrac {n+1}{2}\right] +\left[ \dfrac {n+2}{4}\right] + \dots + \left[ \dfrac {n+2^k}{2^{k+1}}\right]+ \cdots $$ toplamını hesaplayınız.( $[ x ]$  ile,  $x$ i aşmayan en büyük tam sayıyı gösteriyoruz.)