Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1967 Çözümleri
1
Kenarları $AB=a$ ve $AD=1$ olan $ABCD$ paralelkenarında $\angle BAD = \alpha$ dır. $\triangle ABD$ dar açılı ise, $A,B,C,D$ merkezli ve $1$ yarıçaplı dört çember ile paralelkenarın kaplanabilmesi için gerek ve yeter koşulun $$a \leq \cos \alpha + \sqrt 3 \sin \alpha$$ olduğunu kanıtlayınız.
2
Bir dörtyüzlünün sadece bir kenarının uzunluğu $1$ den büyükse, hacminin $\leq 1/8$ olduğunu kanıtlayınız.
3
$k,m,n$ doğal sayılar olmak üzere; $m+k+1$ sayısı $n+1$'den büyük bir asal sayıdır.$c_{s}=s(s+1)$ olsun.Bu durumda, $$(c_{m+1}-c_{k})(c_{m+2}-c_{k})\cdots(c_{m+n}-c_{k})$$ çarpımının $c_{1}c_{2}\cdots c_{n}$ çarpımı ile bölündüğünü gösteriniz.
4
$A_0B_0C_0$ ve $A_1B_1C_1$ üçgenleri dar açılıdır. $\triangle A_1B_1C_1$ ile benzer olan ($A_1,B_1,C_1$ köşeleri sırasıyla $A,B,C$ köşeleri ile eşleşiyor) ve $A_0B_0C_0$ üçgenini çevreleyen ($A_0$, $B_0$, $C_0$ sırasıyla $BC$, $CA$, $AB$ üzerinde yer alıyor) tüm $ABC$ üçgenlerini ele alalım. Bu tip üçgenler arasından en büyük alanlısını belirleyiniz, bu üçgeni çiziniz.
5
$a_{1},a_{2},\dots,a_{8}$ hepsi birden sıfıra eşit olmayan gerçel sayılar olmak üzere; $$c_{1}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}$$ $$c_{2}=a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots+a_{8}^2$$ $$\cdots$$ $$c_{n}=a_{1}^n+a_{2}^n+\cdots+a_{8}^n$$ $$\cdots$$ şeklinde tanımlanan $\left \{c_{n}\right \}$ dizisini ele alalım. $ \left \{c_{n} \right \}$ dizisinin sonsuz sayıda teriminin sıfıra eşit olduğunu varsayın. $c_{n}=0$ olan tüm $n$ doğal sayılarını bulunuz.
6
Bir spor müsabakasında, peşpeşe $n > 1$ günde $m$ madalya dağıtılıyor. İlk gün, bir madalya ve kalan $m - 1$ madalyanın $1/7$’si dağıtılıyor. İkinci gün, iki madalya ve kalan madalyaların $1/7$’si dağıtılıyor. Bu böyle devam ediyor. $n.$ gün, yani sonuncu gün, geriye kalan $n$ madalya dağıtılıyor. Müsabaka kaç gün sürdü, müsabakada toplamda kaç madalya dağıtıldı?