Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1966 Çözümleri
1
$25$ yarışmacıdan her biri $A,B,C$ problemlerinden en az birisini çözmüştür. $A$’yı çözemeyip $B$’yi çözenlerin sayısı, $A$’yı çözemeyip $C$’yi çözenlerin sayısının iki katıdır. Sadece $A$’yı çözenlerin sayısı, $A$’yı çözüp $B$ ve $C$’den en az birini çözenlerin sayısından bir fazladır. Sadece $A$’yı çözenlerin sayısı sadece $B$’yi çözenler ile sadece $C$’yi çözenlerin toplamına eşitse, sadece $B$’yi çözen kaç kişi vardır?
2
Bir üçgenin kenarları $a,b,c$; bu kenarların karşılarındaki açılar da sırasıyla $\alpha, \beta, \gamma$ dır. $$a+b = \tan \frac \gamma 2 (a\tan \alpha + b\tan \beta)$$ ise, bu üçgenin ikizkenar olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
$\tan \dfrac{\gamma}{2}=\tan \dfrac{\alpha+\beta}{2}$ olduğundan ifade
$$a+b=\dfrac{a.\dfrac{\sin\alpha}{\cos \alpha}+b.\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\tan\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)}$$
şekline dönüşür. Her iki taraf
$\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right).\cos\alpha.\cos\beta$ ile çarpılıp ifade düzenlendiğinde
$$\left(a+b\right).\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right).\cos\alpha .\cos\beta=\left(a.\sin\alpha.\cos\beta+b.\sin\beta\cos\alpha\right).\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$$
$$\Longleftrightarrow a.\cos\beta\left(\cos\alpha.\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)-\sin\alpha.\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\right)$$
$$=b.\cos\alpha\left(\sin\beta.\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)-\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right).\cos\beta\right)$$
Sinüs fark formülü kullanıldığında
$$a.\cos\beta.\sin\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)=b.\cos\alpha.\sin\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)\Longleftrightarrow \sin\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)=0 \quad \text{veya} \quad a.\cos\beta=b.\cos\alpha$$
İlk durumdan $\alpha=\beta$ elde edilir. İkincisi için Sinüs Teoremi'nden
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{\cos\alpha}{\cos\beta}\Longleftrightarrow \sin(\alpha-\beta)=0\Longleftrightarrow \alpha=\beta$$
bulunur ve üçgen ikizkenarlığı elde edilir.
3
Bir düzgün dörtyüzlünün köşelerinin bu dörtyüzlünün çevrel küresinin merkezinden olan uzaklıkları toplamının, uzaydaki başka bir noktanın bu köşelere olan uzaklıkları toplamından az olduğunu kanıtlayınız.
4
Her $n$ doğal sayısı ve her $x\neq k\pi/2^t (t=0,1,\cdots ,n ; k\in \mathbb{Z})$ gerçel sayısı için, $$\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin4x}+\cdots+\dfrac{1}{\sin2^{n}x}= \cot{x}-\cot{2^n{x}}$$ olduğunu gösteriniz.
5
$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ dört farklı gerçel sayı olmak üzere; $$|a_{1}-a_{2}|x_{2}+|a_{1}-a_{3}|x_{3}+|a_{1}-a_{4}|x_{4}=1$$ $$|a_{2}-a_{1}|x_{1}+|a_{2}-a_{3}|x_{3}+|a_{2}-a_{4}|x_{4}=1$$ $$|a_{3}-a_{1}|x_{1}+|a_{3}-a_{2}|x_{2}+|a_{3}-a_{4}|x_{4}=1$$ $$|a_{4}-a_{1}|x_{1}+|a_{4}-a_{2}|x_{2}+|a_{4}-a_{3}|x_{3}=1$$ sistemini çözünüz.
6
$ABC$ üçgeninin $BC,CA,AB$ kenarları üzerinde sırasıyla $K,L,M$ noktaları alınıyor. $AML$, $BKM$, $CLK$ üçgenlerinin en az birinin alanının $ABC$ üçgeninin alanının dörtte birinden çok olmadığını gösteriniz.