Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1966
1
$25$ yarışmacıdan her biri $A,B,C$ problemlerinden en az birisini çözmüştür. $A$’yı çözemeyip $B$’yi çözenlerin sayısı, $A$’yı çözemeyip $C$’yi çözenlerin sayısının iki katıdır. Sadece $A$’yı çözenlerin sayısı, $A$’yı çözüp $B$ ve $C$’den en az birini çözenlerin sayısından bir fazladır. Sadece $A$’yı çözenlerin sayısı sadece $B$’yi çözenler ile sadece $C$’yi çözenlerin toplamına eşitse, sadece $B$’yi çözen kaç kişi vardır?
2
Bir üçgenin kenarları $a,b,c$; bu kenarların karşılarındaki açılar da sırasıyla $\alpha, \beta, \gamma$ dır. $$a+b = \tan \frac \gamma 2 (a\tan \alpha + b\tan \beta)$$ ise, bu üçgenin ikizkenar olduğunu kanıtlayınız.
3
Bir düzgün dörtyüzlünün köşelerinin bu dörtyüzlünün çevrel küresinin merkezinden olan uzaklıkları toplamının, uzaydaki başka bir noktanın bu köşelere olan uzaklıkları toplamından az olduğunu kanıtlayınız.
4
Her $n$ doğal sayısı ve her $x\neq k\pi/2^t (t=0,1,\cdots ,n ; k\in \mathbb{Z})$ gerçel sayısı için, $$\dfrac{1}{\sin2x}+\dfrac{1}{\sin4x}+\cdots+\dfrac{1}{\sin2^{n}x}= \cot{x}-\cot{2^n{x}}$$ olduğunu gösteriniz.
5
$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ dört farklı gerçel sayı olmak üzere; $$|a_{1}-a_{2}|x_{2}+|a_{1}-a_{3}|x_{3}+|a_{1}-a_{4}|x_{4}=1$$ $$|a_{2}-a_{1}|x_{1}+|a_{2}-a_{3}|x_{3}+|a_{2}-a_{4}|x_{4}=1$$ $$|a_{3}-a_{1}|x_{1}+|a_{3}-a_{2}|x_{2}+|a_{3}-a_{4}|x_{4}=1$$ $$|a_{4}-a_{1}|x_{1}+|a_{4}-a_{2}|x_{2}+|a_{4}-a_{3}|x_{3}=1$$ sistemini çözünüz.
6
$ABC$ üçgeninin $BC,CA,AB$ kenarları üzerinde sırasıyla $K,L,M$ noktaları alınıyor. $AML$, $BKM$, $CLK$ üçgenlerinin en az birinin alanının $ABC$ üçgeninin alanının dörtte birinden çok olmadığını gösteriniz.