Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1963 Çözümleri
« 1962 1964 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1963 Çözümleri

1
$p$ gerçel bir parametre olmak üzere, $$\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x$$ denkleminin tüm gerçel köklerini bulunuz.
2
$A$ noktası ve $BC$ doğru parçası veriliyor. Uzayda, bir kolu $A$'dan geçen, diğer kolu da $BC$ doğru parçasını kesen dik açıların köşelerinin geometrik yerini belirleyiniz.
3
Tüm iç açıları eşit olan bir $n$-genin, ardışık kenarlarının uzunlukları arasında $$a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_n$$ bağıntısı varsa, $a_1=a_2=\dots = a_n$ olduğunu kanıtlayınız.
4
$y$ bir parametre olmak üzere, $$x_{5}+x_{2}=yx_{1}$$ $$x_{1}+x_{3}=yx_{2}$$ $$x_{2}+x_{4}=yx_{3}$$ $$x_{3}+x_{5}=yx_{4}$$ $$x_{4}+x_{1}=yx_{5}$$ sistemini sağlayan tüm $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5}$ sayılarını bulunuz.
5
$\cos{\dfrac{\pi}{7}} - \cos{\dfrac{2\pi}{7}}+\cos{\dfrac{3\pi}{7}}=\dfrac{1}{2}$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm 1:
Eşitliği $2\sin \dfrac \pi 7$ ile genişletelim.

$$2\sin \dfrac \pi 7 \cos \dfrac \pi 7 - 2\sin \dfrac \pi 7 \cos \dfrac {2\pi}7 + 2\sin \dfrac \pi 7 \cos  \dfrac {3\pi}7 \stackrel{?}{=} \sin \dfrac \pi 7 \tag {1}$$
$$\sin \dfrac {2\pi} 7 - (\sin \dfrac {3\pi} 7 - \sin \dfrac {\pi} 7) + (\sin \dfrac {4\pi} 7 - \sin \dfrac {2\pi} 7) \stackrel{?}{=} \sin \dfrac \pi 7 \tag {2}$$
$\sin \dfrac {3\pi} 7 = \sin \dfrac {4\pi} 7$ olduğu için $ \sin \dfrac {\pi} 7 \stackrel{?}{=} \sin \dfrac {\pi} 7$ elde ederiz.
Çözüm 2:
$x^7 = 1$ denkleminin çözümleri $z_k = \cos \dfrac {2\pi k} 7 + i \sin \dfrac {2\pi k} 7$ $(k=0,1,2,3,4,5,6)$ dır.
Kökler toplamı $0$ olduğu için köklerin reel kısımları toplamı da $0$ olacaktır. Bu durumda $$1 + \cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {4\pi} 7 + \cos \dfrac {6\pi} 7 + \cos \dfrac {8\pi} 7 + \cos \dfrac {10\pi} 7 + \cos \dfrac {12\pi} 7 = 0$$ elde edilir. $\cos \alpha = \cos (2\pi -\alpha)$ ve $\cos \alpha = - \cos (\pi -\alpha)$ olduğu için $$1+2\left (\cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {4\pi} 7 + \cos \dfrac {6\pi} 7 \right) = 1 + 2\left (\cos \dfrac {2\pi} 7 + - \cos \dfrac {3\pi} 7 - \cos \dfrac {\pi} 7 \right) = 0$$ elde edilir. Biraz düzenlemeyle $$2\left (\cos \dfrac {\pi} 7  - \cos \dfrac {2\pi} 7 + \cos \dfrac {3\pi} 7 \right) = 1 $$ elde ederiz.
Çözüm 3:
$7x=2k\pi$ dersek $\cos4x=\cos3x$ $$2\cos^22x-1=4\cos^3x-3\cos x$$ $$2(2\cos^2x-1)^2-1=4\cos^3x+3\cos x$$ $$8\cos^4x-4\cos^3x-8\cos^2x+3 \cos x+1=0$$ Denklemin katsayılar toplamı $0$ olduğundan köklerden biri $1$ olmalı. Buna göre,   $$(\cos x-1)(8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1)=0$$ $\cos x-1\ne0$ olduğundan $$8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1=0$$ Bu denklemin kökleri $\cos2\pi/7,\cos4\pi/7$ ve $\cos6\pi/7$ olup kökler  toplamından $$\cos2\pi/7+\cos4\pi/7+\cos6\pi/7=-1/2$$  $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7+\cos5\pi/7=1/2$$ bulunur.

$\cos5\pi/7=-\cos2\pi/7$ olduğundan $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7-\cos2\pi/7=1/2$$ olarak da yazılabilir
Çözüm 4:
Önce şu eşitliği kanıtlayalım: Kanıt için buradaki bağlantıya da bakılabilir.

$$\begin{array}{lcl}
\cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) &=& \frac{4}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{2}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& = & \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\pi-\frac{3 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times 2 \sin \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\frac{6 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\pi-\frac{6 \pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8 \sin \left(\frac{\pi}{7}\right)} \times \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) \\
& =& \frac{1}{8}
\end{array}
$$

Şimdi $\cos\pi/7\cdot\cos2\pi/7\cdot\cos3\pi/7=1/8$ eşitliğini kullanalım:

$$
\begin{array}{lcl}
(\cos2\pi/7+\cos4\pi/7)+\cos6\pi/7 &=& (2\cos3\pi/7\cdot\cos\pi/7)+2\cos^23\pi/7-1\\
&=& 2\ (\cos(3\pi/7))(\cos\pi/7+\cos3\pi/7)-1\\
&=& 4\cos\pi/7\cdot\cos2\pi/7\cdot\cos3\pi/7-1\\
&=& 4\cdot1/8-1 \\
&=& -1/2
\end{array}$$ Dolayısıyla $$\cos2\pi/7+\cos4\pi/7+\cos6\pi/7=-1/2$$ olduğundan $$\cos\pi/7+\cos3\pi/7+\cos5\pi/7=1/2$$ bulunur. (veya 1963 Umo sorusu olarak $\cos\pi/7+\cos3\pi/7-\cos2\pi/7=1/2$ )
6
$A,B,C,D,E$ öğrencileri bir yarışmaya katılıyor. Tahminlerden biri sıralamanın $ABCDE$ şeklinde olacağı idi. Bu tahmin tutmadı. Aslında, hiçbir yarışmacı tahmindeki sırada yarışmayı bitiremedi. Dahası, birbiri ardına sıralanır diye düşünülen hiçbir yarışmacı birbiri ardına sıralanmamıştır. Bir diğer tahminde, sıralamanın $DAECB$ şeklinde olacağı idi. Bu tahmin ilkinden daha iyiydi. Yarışmacılardan tam olarak ikisi, yarışmayı tahmin edilen sırada bitirdi. Dahası, tahminde birbiri ardına sıralanır diye düşünülen çiftlerden tam olarak ayrık ikisi yarışmayı birbiri ardında bitirdi. Buna göre, yarışmanın nasıl sonuçlandığını belirleyiniz.