Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1962 Çözümleri
« 1961 1963 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1962 Çözümleri

1
Aşağıdaki şartları sağlayan en küçük $n$ doğal sayısını bulunuz.
Çözüm:
(Mehmet Utku Özbek)

Sayı $(a6)_{10}$ olsun. $4\cdot(a6)_{10}=(6a)_{10}$ dır. $a$ sayısı $k$ basamaklı olsun. O zaman ifadeyi açarsak $40a+24=6 \cdot 10^k+a$ yani $13\cdot a+8=2\cdot 10^k$ dir. Buradan $10^k\equiv4\pmod{13}$ ve en küçük $k$ sayısı $5$ bulunur. Yani bu şartları sağlayan en küçük $n$ sayısı $6$ basamaklıdır. Bu sayıyı da kolaylıkla $153846$ olarak bulabiliriz.
2
$$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1} > \dfrac{1}{2}$$ eşitsizliğini sağlayan tüm $x$ gerçel sayılarını belirleyiniz.
Çözüm:
Öncelikle kareköklerin tanımlı olması için $x\in [-1,3]$ olması gerektiğini not alalım. Verilen eşitsizliği düzenleyelim. $$\sqrt{3-x}-\sqrt{x+1} > \frac{1}{2}\iff 3-x >\left(\frac{1}{2}+\sqrt{x+1}\right)^2=\frac{1}{4}+\sqrt{x+1}+x+1$$ $$\iff \frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1}$$ Son eşitsizliğin sağlanması için $x<\frac{7}{8}$ olması gerektiğini görebiliriz. Dolayısıyla $x\in \left[-1,\frac{7}{8}\right)$ olmalıdır. Bu aralık için $$\frac{7}{4}-2x>\sqrt{x+1}\iff 4x^2+\frac{49}{16}-7x>x+1\iff 4x^2-8x+\frac{33}{16}>0$$ $$\iff x^2-2x+1>1-\frac{33}{64}=\frac{31}{64}\iff |x-1|>\frac{\sqrt{31}}{8}$$ $x<\frac{7}{8}<1$ olduğundan $|x-1|=1-x$ olacaktır. Buradan da $$1-x>\frac{\sqrt{31}}{8}\iff 1-\frac{\sqrt{31}}{8}>x$$ elde edilir. $1-\frac{\sqrt{31}}{8}<\frac{7}{8}$ olduğundan $x$'in en geniş aralığı $\boxed{\left[-1,1-\frac{\sqrt{31}}{8}\right)}$ bulunur.
3
$ABCDA'B'C'D'$ ($ABCD$ ve $A'B'C'D'$ sırasıyla üst ve alt tabanlar, $AA', BB', CC', DD'$ kenarları birbirlerine paralel) küpünü ele alalım. $X$ noktası sabit bir hızla $ABCD$ karesinin çevresinde $ABCDA$ yönünde hareket ediyor. $Y$ noktası da aynı hızla $B'C'CB$ karesinin çevresinde $B'C'CBB'$ yönünde hareket ediyor. $X$ ve $Y$ noktları, hareketlerine aynı anda sırasıyla $A$ ve $B'$ noktasında başlıyor. Buna göre, $XY$ doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini belirleyiniz ve çiziniz.
4
$\cos^{2}x + \cos^{2}2x + \cos^{2}3x = 1$ denklemini çözünüz.
Çözüm:
$\cos{2x}$ ve $\cos{3x}$ fonksiyonları $\cos{x}$ cinsinden yazılabilir. $$\cos{2x}=2\cos^2{x}-1$$ $$\cos{3x}=4\cos^3{x}-3\cos{x}$$ Yani $\cos{x}=y$ dersek, çözmemiz gereken denklem $$y^2+(2y^2-1)^2+(4y^3-3y)^2=1\iff 16y^6-20y^4+6y^2=2y^2(2y^2-1)(4y^2-3)=0$$ Yani kökler $y=0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ elde edilir. $\cos{x}=y$ yazarsak, $$\boxed{x=n\pi-\frac{\pi}{2},~~ n\pi \pm \frac{\pi}{4}, ~~ n\pi\pm \frac{\pi}{6}}$$ bulunur.
5
$K$ çemberi üzerinde üç farklı nokta, $A,B,C$, veriliyor. $K$ üzerinde dördüncü bir $D$ noktasını, oluşan dörtgen teğetler dörtgeni olacak şekilde (sadece cetvel ve pergel kullanarak) oluşturun.
6
Çevrel çemberinin yarıçapı $r$, içteğet çemberinin yarıçapı $\rho$ olan bir ikizkenar üçgen veriliyor. Bu iki çemberin merkezleri arası uzaklık $d$ ise, $$d = \sqrt {r(r-2\rho)}$$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
$I$ iç merkez, $O$ çevrel merkez olsun. $\angle BAC = 2\alpha$ olsun. $AI$, çevrel çemberi $M$ de kessin.
$AI = \dfrac {\rho}{\sin \alpha }$ ve Sinüs Teoreminden $BM = 2r \cdot \sin \alpha$ olacaktır.

$\angle BIM = \angle BAM + \angle ABI = \angle MAC + \angle IBC = \angle CBM + \angle IBC = \angle IBM$ olduğu için $BM=MI=2r\cdot \sin \alpha$.
$I$ noktasının çevrel çembere göre kuvveti: $$AI \cdot MI = R^2 - OI^2$$ $$\dfrac {\rho}{\sin \alpha} \cdot 2r \cdot \sin \alpha = 2r\rho = R^2 - d^2 \Rightarrow d = \sqrt {r^2 - 2 r \rho} $$

Not:
Üçgenin ikizkenarlığını kullanmadık.
Ayrıca bu sorunun genel hali, 1767'de Euler tarafından sunulmuş.
7
Her biri $SA,SB,SC,BC,CA,AB$ doğrularına teğet olan beş kürenin bulunabildiği $SABC$ dörtyüzlüsü veriliyor.