Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1961

$a$ ve $b$ sabit sayılar olmak üzere, $$\begin{array}{rcl}
x+y+z &=& a \\
x^2+y^2+z^2 &=& b^2 \\
xy &=& z^2
\end{array}$$ denklem sistemini çözünüz. Denklem sisteminin çözümleri olan $x,y,z$ 'nin farklı pozitif sayılar olması için $a$ ve $b$ 'nin sağlaması gereken şartları belirtiniz. 

Alanı $T$, kenarları $a,b,c$ olan bir üçgende $$a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt 3 \cdot T$$ olduğunu kanıtlayınız. Hangi koşullarda eşitlik sağlanır?

$n$ doğal sayı olmak üzere, $\cos^n{x}-\sin^n{x}=1$ denklemini çözünüz.

$P$, $P_1P_2P_3$ üçgeni içerisinde bir noktadır. $P_1P, P_2P, P_3P$ doğruları karşı kenarları sırasıyla $Q_1, Q_2, Q_3$ noktalarında kesiyor. $$\dfrac{P_1P}{PQ_1}, \dfrac{P_2P}{PQ_2}, \dfrac{P_3P}{PQ_3}$$ sayılarından en az birinin $\leq 2$, ve en az birinin $\geq 2$ olduğunu gösteriniz.

$M$, $BC$ doğru parçasının orta noktası ve $\omega < 90^\circ$ olmak üzere; $AC=b$, $AB=c$ ve $\angle AMB = \omega$ verilen $ABC$ üçgenini çiziniz. Bu şekilde bir çizimin yapılabilmesi için gerek ve yeter koşulun $$b\tan \frac \omega 2 \leq c < b$$ olduğunu gösteriniz. Hangi halde eşitlik geçerlidir?

Bir $\epsilon$ düzlemi ile bu düzleme paralel olmayan bir düzlem üzerinde yer alan, $\epsilon$'a göre aynı tarafta bulunan ve doğrusal olmayan $A,B,C$ noktalarını ele alalım. $A',B',C'$ noktaları $\epsilon$ üzerinde rastgele üç nokta olsun. $L,M,N$ sırasıyla $AA', BB', CC'$ doğru parçalarının orta noktaları ve $G$ de $LMN$ üçgeninin ağırlık merkezi olsun. ($L,M,N$ nin üçgen oluşturmadığı $A',B',C'$ noktalarını ele almıyoruz.) $A',B',C'$ noktaları $\epsilon$ üzerinde bağımsız olarak değişirken, $G$ noktasının geometrik yeri nedir?