Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1960

Rakamlarının kareleri toplamının $11$ katına eşit olan tüm üç basamaklı sayıları bulunuz.

$$\dfrac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9$$  eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerini bulunuz.

Verilen bir $ABC$ dik üçgeninde uzunluğu $a$ olan $BC$ hipotenüsü, $n$ eşit parçaya ($n$ tek tam sayı) bölünüyor. Hipotenüsün orta noktasını bulunduran parçayı gören $A$ dar açısı $\alpha$ olsun. Hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu da $h$ olsun. $$\tan \alpha = \dfrac{4nh}{(n^2-1)a}$$ olduğunu gösteriniz.

$h_a, h_b$ ($A$ ve $B$'den geçen yükseklikler) ve $A$ köşesinden geçen $m_a$ kenarortayı verilen $ABC$ üçgenini çiziniz.

$ABCDA'B'C'D'$ ($ABCD$ yüzü doğruca $A'B'C'D'$ yüzünün üstünde olacak şekilde) küpünü ele alalım.

• $X$ ve $Y$, sırasıyla $AC$ ve $B'D'$ doğru parçalarının üzerinde rastgele noktalar olmak üzere; $XY$ doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.
  
• (a)'da tanımlanan $XY$ doğru parçasının üzerinde $ZY = 2XZ$ olacak şekilde alınan $Z$ noktalarının geometrik yerini bulunuz.

$V_1$ hacimli bir dik koninin içine tabanına teğet olacak şekilde en büyük hacimli küre çiziliyor. Tabanı koninin tabanı üzerinde yer alacak şekilde küreyi çevreleyen en küçük hacimli silindirin hacmi $V_2$'dir.

• $V_1 \neq V_2$ olduğunu gösteriniz.
• $V_1 = k V_2$ eşitliği sağlayan en küçük $k$ sayısını bulunuz. Bu durumda, koninin tepesinden koninin taban çapını gören açıyı çiziniz.

Tabanları $a$ ve $c$, yüksekliği $h$ olan bir ikizkenar yamuk veriliyor.

• Yamuğun simetri ekseni üzerinde yer alan ve yamuğun kollarının ikisini de (tabanların dışındaki kenarları) dik açı ile gören tüm $P$ noktalarını bulunuz.
  
• $P$'nin tabanlardan birinden uzaklığını hesaplayınız.
• Gerçekte, böyle $P$ noktalarının hangi koşullar altında var olduğunu belirleyiniz. (Ortaya çıkabilecek değişik halleri irdeleyiniz.)