Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1979
« 1978 1981 »
Çözümlere Git »
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1979

1
$p$ ve $q$, $$\dfrac{p}{q} = 1-\dfrac 12 + \dfrac 13 - \dfrac 14 + \dots - \dfrac 1{1318} + \dfrac 1{1319}$$ koşulunu sağlayan doğal sayılar olsun. $p$ nin $1979$ ile bölündüğünü kanıtlayınız.
2
$A_1A_2A_3A_4A_5$ beşgenini tepe, $B_1B_2B_3B_4B_5$ beşgenini de taban yüzü olarak kabul eden bir prizma veriliyor. Bu iki beşgenin her kenarı ile her $i,j=1,\dots, 5$ için tanımlanan $A_iB_j$ doğru parçaları kırmızı ya da yeşile boyanıyor. Köşeleri, prizmanın köşeleri olan ve tüm kenarları boyanmış olan her üçgenin farklı renge boyanmış iki kenarı vardır. Tepe ve taban yüzlerindeki $10$ kenarın da aynı renkte olduğunu gösteriniz.
3
Düzlemde, iki noktada keşisen iki çemberin kesişim noktalarından biri $A$ olsun. Sabit hızlarla hareket eden iki nokta, $A$ dan aynı anda başlayarak, kendi çemberlerinin üzerinde bir tam tur atarak aynı anda $A$ ya gelmektedir. Düzlemde, herhangi bir anda, hareket eden noktalara eşit uzaklıkta yer alan sabit bir $P$ noktasının bulunduğunu kanıtlayınız.
4
$\pi$ düzlemi ile, bu düzlemde bir $P$ noktası ile bu düzlemde yer almayan bir $Q$ noktası veriliyor. $(QP+PR)/QR$ oranını en büyük yapan ve $\pi$ düzleminde yer alan tüm $R$ noktalarını bulunuz.
5
$$\sum\limits_{k=1}^{5} kx_k = a, \sum\limits_{k=1}^{5} k^3x_k = a^2, \sum\limits_{k=1}^{5} k^5x_k = a^3$$ koşulunu sağlayan negatif olmayan $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ sayılarının bulunmasını sağlayan tüm gerçel $a$ sayılarını bulunuz.
6
$A$ ve $E$ düzgün bir sekizgenin karşı iki köşesi olsun. Bir kurbağa, $A$ dan başlayarak zıplıyor. Kurbağa, sekizgenin $E$ hariç her köşesinden, komşu köşelerden birine zıplayabiliyor. $E$ ye gelince ise zıplamayı bırakıyor. $a_n$ ile tam olarak $n$ zıplama sonucu $E$ ye gelebilmeyi mümkün kılan farklı yolların sayısını gösterelim. $x=2+\sqrt 2$ ve $y=2-\sqrt 2$ olmak üzere; $a_{2n-1}=0$ ve her $n=1,2,3,\dots$ için $$a_{2n} = \dfrac{1}{\sqrt 2}(x^{n-1}-y^{n-1})$$ olduğunu kanıtlayınız.
Not: $n$ zıplamalı bir yol, köşelerden oluşan bir $(P_0,\dots, P_n)$ dizisi olup aşağıdaki koşulları sağlar: