Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1978
1
$m$ ve $n$, $1\leq m < n$ koşulunu sağlayan doğal sayılardır. $1978^m$ ile $1978^n$ sayılarının ondalık gösterimlerindeki son üç rakam eşittir. $m+n$ nin en küçük değerini almasını sağlayan $m$ ve $n$ yi bulunuz.
2
Bir kürenin içerisindeki bir $P$ noktası veriliyor. $P$ den çıkan ve ikişerli olarak birbirine dik olan üç ışın küreyi $U$, $V$ ve $W$ da kesiyor. $PU$, $PV$ ve $PW$ doğruları tarafından belirlenmiş paralelyüzlünün $P$ köşesinin köşegence karşısındaki köşesi $Q$ olsun. Yukarıda anlatıldığı gibi $P$ den çıkan tüm üçlü ışınlar için, $Q$ noktalarının geometrik yerini bulunuz.
3
Pozitif tam sayılar kümesi
$$\begin{array}{rcccccccl}
f(1) &<& f(2) &<& \dots &<& f(n) &<& \dots, \\
g(1) &<& g(2) &<& \dots &<& g(n) &<& \dots \\
\end{array}$$
ve her $n\geq 1$ için,
$$g(n)=f(f(n))+1$$ olacak şekilde iki ayrık $\{f(1), f(2), \dots, f(n), \dots \}$, $\{g(1), g(2), \dots, g(n), \dots \}$ kümelerinin birleşimi ise, $f(240)$ ı belirleyiniz.
4
$ABC$ üçgeninde $AB=AC$ dir. $AB$ ve $AC$ ye sırasıyla $P$ ve $Q$ da teğet olan çember, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine de içten teğettir. $PQ$ doğru parçasının orta noktasının $ABC$ üçgeninin içteğet çemberinin merkezi olduğunu gösteriniz.
5
$\{a_k\}$ $(k=1,2,3\dots,n,\dots)$, farklı pozitif tam sayılardan oluşan bir dizi olsun. Her $n$ doğal sayısı için, $$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{a_k}{k^2} \geq \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k}$$ olduğunu gösteriniz.
6
Uluslararası bir topluluğun üyeleri altı farklı ülkeden gelmiştir. Üye listesi $1,2,\dots, 1978$ ile numaralandırılmış $1978$ isim içermektedir. Numarası kendi ülkesinden gelen iki üyenin numaralarının toplamına eşit olan veya numarası kendi ülkesinden gelen bir üyenin numarasının iki katı olan en az bir üyenin bulunduğunu ispatlayınız.