$ABCD$ karesinin içerisine $ABK$, $BCL$, $CDM$, $DAN$ eşkenar üçgenleri çiziliyor. $KL$, $LM$, $MN$, $NK$ doğru parçaları ile $AK$, $BK$, $BL$, $CL$, $CM$, $DM$, $DN$, $AN$ doğru parçalarının orta noktalarının düzgün bir onikigenin köşeleri olduğunu kanıtlayınız.

Sonlu bir gerçel sayılar dizisinin herhangi ardışık yedi teriminin toplamı negatif, herhangi ardışık on bir teriminin toplamı ise pozitiftir. Buna göre, bu dizinin terim sayısının en çok kaç olabileceğini belirleyiniz.

$n>2$ olarak verilen bir tam sayı ve $V_n$, $k=1,2,\dots$ olmak üzere $1+kn$ formundaki tam sayıların kümesi olsun. $m\in V_n$ sayısına; $pq=m$ olacak şekilde $p,q\in V_n$ sayıları bulunamıyorsa, $V_n$ de bölünemez (çarpanlara ayrılamaz) denir. $V_n$ de bölünemeyen elemanların çarpımı olarak birden fazla şeklinde ifade edilebilen bir $r\in V_n$ sayısının bulunduğunu kanıtlayınız.

$a,b,A,B$ gerçel değişmezleri ve $$f(\theta) = 1 - a\cos \theta - b\sin \theta - A\cos 2\theta - B\sin 2\theta$$ veriliyor. Her $\theta$ gerçel sayısı için $f(\theta) \geq 0$ ise, $$a^2+b^2 \geq 2 \text{ ve } A^2+B^2 \leq 1$$ olduğunu kanıtlayınız.

$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olsun. $a^2+b^2$ sayısı $a+b$ ile bölündüğü zaman, bölüm $q$ ve kalan $r$ oluyor. $q^2+r=1977$ olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ çiftlerini bulunuz.

$f(n)$, tüm pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı ve bu kümedeki tüm değerleri alan bir fonksiyon olsun. Her pozitif $n$ tam sayısı için $$f(n+1)>f\left(f(n)\right)$$ ise, her $n$ için $$f(n)=n$$ olduğunu kanıtlayınız.