Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1976 Çözümleri
« 1975 1977 »
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1976 Çözümleri

1
Düzlemde, alanı $32$ olan bir dışbükey dörtgenin karşılıklı iki kenarı ile bir köşegeninin uzunlukları toplamı $16$ dır. Diğer köşegenin uzunluğunun alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.
Çözüm:
$AB=a$, $BD=e$, $CD=c$ ve $a+c+e = 16$ olsun. $AO \geq GO$ dan $\dfrac{(a+c) + e}2 \geq \sqrt{e(a+c)} \Rightarrow 64 \geq e(a+c)$.
$[ABC] \leq \frac 12 \cdot a \cdot e$ ve $[BCD] \leq \frac 12 \cdot c \cdot e$ olacağı için $32 = [ABCD] \leq \frac 12 \cdot e \cdot (a+c) \leq 32$ olacaktır.
Eşitsizlikte, eşitliğin sağlanması için $e=a+c = 8$ ve $\angle ABD = \angle BDC = 90^\circ$ olması gerekir.
$A$ dan geçen $BD$ ye paralel olan doğru ile $CD$ doğrusu $F$ de kesişsin. Ayrıca, $AB\parallel CD$ olduğu için $AF=e=8$ ve $DF=a$ dır. Bu durumda, $\triangle AFC$ dik üçgeninde, $AF=FC=8$  olduğu için $AC$ hipotenüsü $8\sqrt 2$ dir. $\blacksquare$
2
$P_1(x)=x^2-2$ ve $j=2,3,\dots$ için $P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))$ olsun. Herhangi bir $n$ pozitif tam sayısı için, $P_n(x)=x$ denkleminin tüm köklerinin gerçel ve farklı olduğunu gösteriniz.
3
Birim küplerle tamamen doldurulabilen dikdörtgen şeklinde bir kutu veriliyor. Kenarları kutunun kenarlarına paralel olacak şekilde her biri $2$ hacimli küplerle bu kutunun en fazla tam olarak $\% 40$ ı doldurulabiliyorsa, böyle kutuların sahip olabileceği tüm boyutları belirleyiniz.
4
Toplamları $1976$ olan pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde ifade edilebilecek en büyük sayıyı (ispatlayarak) belirleyiniz.
5
$q=2p$ ve her $a_{ij}$ katsayısının $\{-1,0,1\}$ kümesinin bir elemanı olduğu, $x_1, x_2, \dots, x_q$ bilinmeyenli $p$ denklemli aşağıdaki denklem sistemini ele alalım: $$
\begin{array}{rcl}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1q}x_q &=& 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2q}x_q &=& 0 \\
&\vdots & \\
a_{p1}x_1 + a_{p2}x_2 + \dots + a_{pq}x_q &=& 0
\end{array} $$
Sistemin
olacak şekilde bir $(x_1,x_2, \dots, x_q)$ çözümünün olduğunu kanıtlayınız.
6
$\{u_n\}$ dizisi
$$u_0 = 2, u_1 = 5/2 \text{ ve } n=1,2,\dots \text{ için } u_{n+1} = u_n(u_{n-1}^2-2)$$ şeklinde tanımlanıyor. $[ x ]$ ile $\leq x$ olan en büyük tam sayı gösterilmek üzere; $n$ pozitif tam sayıları için $$[u_n] = 2^{[2^n - (-1)^n]/3}$$ olduğunu kanıtlayınız.