Düzlemde, alanı $32$ olan bir dışbükey dörtgenin karşılıklı iki kenarı ile bir köşegeninin uzunlukları toplamı $16$ dır. Diğer köşegenin uzunluğunun alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.

$P_1(x)=x^2-2$ ve $j=2,3,\dots$ için $P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))$ olsun. Herhangi bir $n$ pozitif tam sayısı için, $P_n(x)=x$ denkleminin tüm köklerinin gerçel ve farklı olduğunu gösteriniz.

Birim küplerle tamamen doldurulabilen dikdörtgen şeklinde bir kutu veriliyor. Kenarları kutunun kenarlarına paralel olacak şekilde her biri $2$ hacimli küplerle bu kutunun en fazla tam olarak $\% 40$ ı doldurulabiliyorsa, böyle kutuların sahip olabileceği tüm boyutları belirleyiniz.

Toplamları $1976$ olan pozitif tam sayıların çarpımı şeklinde ifade edilebilecek en büyük sayıyı (ispatlayarak) belirleyiniz.

$q=2p$ ve her $a_{ij}$ katsayısının $\{-1,0,1\}$ kümesinin bir elemanı olduğu, $x_1, x_2, \dots, x_q$ bilinmeyenli $p$ denklemli aşağıdaki denklem sistemini ele alalım: $$
\begin{array}{rcl}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1q}x_q &=& 0 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2q}x_q &=& 0 \\
&\vdots & \\
a_{p1}x_1 + a_{p2}x_2 + \dots + a_{pq}x_q &=& 0
\end{array} $$
Sistemin

• tüm $x_j$ ler ($j=1,2,\dots, q$) birer tam sayı,
• en az bir $j$ değeri için $x_j \neq 0$,
• $|x_j| \leq q$ ($j=1,2,\dots, q$)

olacak şekilde bir $(x_1,x_2, \dots, x_q)$ çözümünün olduğunu kanıtlayınız.

$\{u_n\}$ dizisi
$$u_0 = 2, u_1 = 5/2 \text{ ve } n=1,2,\dots \text{ için } u_{n+1} = u_n(u_{n-1}^2-2)$$ şeklinde tanımlanıyor. $[ x ]$ ile $\leq x$ olan en büyük tam sayı gösterilmek üzere; $n$ pozitif tam sayıları için $$[u_n] = 2^{[2^n - (-1)^n]/3}$$ olduğunu kanıtlayınız.