Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1975
« 1974 1976 »
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1975

1
$x_i,y_i$ ($i=1,2,\dots, n$)
$$x_1 \geq x_2 \geq \dots \geq x_n \text{ ve } y_1 \geq y_2 \geq \dots \geq y_n$$ olacak şekilde gerçel sayılar olsun. $y_1, y_2, \dots, y_n$ nin herhangi bir permütasyonu $z_1,z_2, \dots, z_n $ ise, $$\sum\limits_{i=1}^n(x_i-y_i)^2 \leq \sum\limits_{i=1}^n(x_i-z_i)^2 $$ olduğunu kanıtlayınız.
2
$a_1, a_2, a_3, \dots$; pozitif tam sayıların artan sonsuz bir dizisi olsun. $x,y$ pozitif tam sayılar ve $q>p$ olmak üzere; her $p\geq 1$ için $$a_m = xa_p + ya_q$$ şeklinde yazılabilen sonsuz çoklukta $a_m$ sayısının bulunduğu kanıtlayınız.
3
Keyfi bir $ABC$ üçgeninin kenarları üzerinde, üçgenin dışına doğru, $\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ$, $\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ$, $\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ$ olacak şekilde $ABR$, $BCP$ ve $CAQ$ üçgenleri çiziliyor. $\angle QRP = 90^\circ$ ve $QR= RP$ olduğunu kanıtlayınız.
4
$4444^{4444}$ sayısı onluk sistemde yazılırsa, rakamları toplamı $A$ dır. $A$ nın rakamları toplamı $B$ olsun. $B$ nin rakamları toplamını bulunuz. ($A$ ve $B$, onluk sistemde yazılmıştır.)
5
Birim çember üzerinde, herhangi ikisinin arasındaki uzaklık bir rasyonel sayı olacak şekilde $1975$ nokta alınıp alınamayacağını, ispatlayarak, belirleyiniz.
6
Aşağıdaki özelliklere sahip tüm iki değişkenli $P$ polinomlarını bulunuz: