Üç oyuncu $A$, $B$ ve $C$ aralarında şöyle bir oyun oynuyor: Üç kartın her birine bir tam sayı yazılıyor. Bu üç $p,q,r$ sayısı $0<p<q<r$ koşulunu sağlıyor. Üç kart karıştırıldıktan sonra, her bir oyuncuya bir kart veriliyor. Her bir oyuncu, elindeki kartta yazılı sayı kadar fiş alıyor.
Bu süreç (kartların karıştırılması, dağıtılması, fişlerin alınması) en az iki tur sürüyor. Son tur sonunda $A$ nın $20$, $B$ nin $10$ ve $C$ nin de $9$ fişi vardır. Son turda $B$, $r$ fiş almıştır. Buna göre, hangi oyuncu ilk turda $q$ fiş almıştır?

$ABC$ üçgeninin $AB$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alındığında, $CD$ nin $AD$ ile $DB$ nin geometrik ortası olması için gerek ve yeter koşulun $$\sin A \sin B \leq \sin^2 \dfrac C2$$ olduğunu kanıtlayınız.

Hiçbir $n\geq 0$ tam sayısı için, $\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}$ sayısının $5$ ile bölünmediğini kanıtlayınız.

$8\times 8$ bir satranç tahtasının $p$ adet kesişmeyen dikdörtgene aşağıdaki koşullarda bölündüğü durumları ele alalım:

• Her dikdörtgen, siyah kareler kadar beyaz kare içeriyor.
• $i.$ dikdörtgendeki beyaz karelerin sayısı $a_i$ ise, $a_1 < a_2 < \dots < a_p$.

Bu şekilde bir parçalanmayı mümkün kılan en büyük $p$ sayısını bulunuz. Bu $p$ değeri için, mümkün olan tüm $a_1, a_2, \dots, a_p$ dizilerini belirleyiniz.

$a,b,c,d$ rastgele seçilmiş pozitif sayılar olmak üzere,
$$S = \dfrac{a}{a+b+d} + \dfrac{b}{a+b+c} + \dfrac{c}{b+c+d} + \dfrac{d}{a+c+d}$$ toplamının alabileceği tüm değerleri belirleyiniz.

$P$; tam katsayılı, sabit olmayan bir polinom olsun. $\left(P(k)\right)^2 = 1$ eşitliğini sağlayan farklı $k$ tam sayılarının sayısı $n(P)$ ise, $\deg(P)$ ile $P$ polinomunun derecesi gösterilmek üzere, $n(P) - \deg(P) \leq 2$ olduğunu kanıtlayınız.