Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1973 Çözümleri
« 1972 1974 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1973 Çözümleri

1
$g$ doğrusu üzerinde $O$ noktası; $P_1,P_2, \dots, P_n$ noktaları $g$ ile aynı düzlemde, $g$ nin aynı tarafında ve $\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \dots, \overrightarrow{OP_n}$ vektörleri birim vektör olacak şekilde alınıyor. $\left |\overrightarrow{OM}\right |$  ile $\overrightarrow{OM}$ vekötürünün uzunluğu gösterilmek üzere; $n$ tek ise, $$\left | \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \dots + \overrightarrow{OP_n} \right | \geq 1$$ olduğunu kanıtlayınız.
2
$M$; uzayda, hepsi birden aynı düzlemde yer almayan sonlu noktalar kümesi olsun. $M$ kümesindeki herhangi iki $A$ ve $B$ noktası için, $AB$ ile $CD$ paralel olacak; ama çakışık olmayacak şekilde $M$ kümesinden $C$ ve $D$ noktaları seçilebiliyorsa, bu şekilde bir $M$ kümesinin bulunup bulunmadığını belirleyiniz.
3
$a$ ve $b$ gerçel sayıları olmak üzere; $$x^4+ax^3+bx^2+ax+1 = 0$$ denkleminin en az bir gerçel çözümü olsun. Bu şekildeki tüm $(a,b)$ sayı çifti için, $a^2+b^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.
Çözüm:
Bu denklem katsayılarına göre simetrik olduğu için $x^2$ ile bölerek işe başlamalıyız. $x^2+ax+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0$

Daha sonra $x+\dfrac{1}{x}=t$ denilip $x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x+\dfrac{1}{x})^2-2=t^2-2$ olduğu denklemde yerine yazılırsa

$t^2+at+b-2=0$ elde edilir. Aynı zamanda $x+\dfrac{1}{x}=t$ yani $x^2-tx+1=0$ olup $\bigtriangleup = t^2-4\ge 0 $ olur.

Buradan $\mid t \mid \ge 2$ olarak bulunur.

Şimdi diğer denklemde kökleri bulalım.

$\mid t_{1,2} \mid =\mid \dfrac{-a\pm \sqrt{a^2-4.(b-2)}}{2}\mid $ olarak bulunur. 

$a\ge 0$ ise  $\mid  \dfrac{-a -\sqrt{a^2-4.(b-2)}}{2}\mid \ge \mid \dfrac{-a + \sqrt{a^2-4.(b-2)}}{2}\mid  $  olacağından her iki katsayısı negatif için eşitsizliğe  bakmak yeter.

$a<0$ ise    $\mid  \dfrac{-a +\sqrt{a^2-4.(b-2)}}{2}\mid \ge \mid \dfrac{-a - \sqrt{a^2-4.(b-2)}}{2}\mid  $ olacağıdan biri pozitif diğeri negatif katsayılı için eşitsizliğe bakmak yeter.

İki durumu birleştirirsek en genel halde $\dfrac{\mid a\mid+\sqrt{a^2-4.(b-2)}}{2} \ge 2 $  bakmak yeter.  Şimdi bu eşitsizliği çözelim.

$\mid a\mid+\sqrt{a^2-4.(b-2)}\ge 4$

$\sqrt{a^2-4.(b-2)} \ge 4-\mid a\mid$  her iki tarafın karesi alınırsa

$a^2-4.(b-2)\ge 16-8\mid a \mid +a^2$ 

$4-2\mid a\mid \le -b+2$

$2\mid a\mid \ge b+2$ olması gereklidir.

$4a^2\ge b^2+4b+4$ 

$4a^2+4b^2\ge 5b^2+4b+4$ olarak bulunur. 

$f(x)=5x^2+4x+4$ olsun. $f'(x)=0$ denklemini çözüp yerine koyalım.

$f'(x)=10x+4=0$  yani $x=\dfrac{-2}{5}$ olur.

$f(x) \ge \dfrac{16}{5}$ olarak bulunur.

$4a^2+4b^2\ge f(b) \ge \dfrac{16}{5}$ 

$a^2+b^2 \ge \dfrac{4}{5}$ olur.

4
Bir asker, eşkenar üçgen şeklindeki bir bölgede mayın taraması yapıyor. Kullandığı mayın tarayıcı, eşkenar üçgenin yüksekliğinin yarısı kadar bir yarıçaplı bir dairenin içerisini tarayabiliyor. Asker üçgenin köşelerinden birinden başlayarak tüm bölgeyi taramak amacıyla yola koyuluyor. Askerin görevini  en kısa mesafede tamamlayabileceği yolu bulunuz.
5
$G$; gerçel $x$ değişkeninin $$f(x) = ax+b, a \text{ ve } b \text{ gerçel sayılar}$$ biçimindeki sabit olmayan fonksiyonlarının kümesi olup, aşağıdaki özellikleri taşımaktadır:
$G$ deki her $f$ için $f(k)=k$ olacak şekilde bir $k$ gerçel sayısının var olduğunu gösteriniz.
6
$a_1,a_2,\dots, a_n$ pozitif sayılar, $q$ da $0<q<1$ eşitsizliğini sağlayan bir gerçel sayı olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan $b_1,b_2,\dots, b_n$ sayılarını bulunuz: