Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1973

$g$ doğrusu üzerinde $O$ noktası; $P_1,P_2, \dots, P_n$ noktaları $g$ ile aynı düzlemde, $g$ nin aynı tarafında ve $\overrightarrow{OP_1}, \overrightarrow{OP_2}, \dots, \overrightarrow{OP_n}$ vektörleri birim vektör olacak şekilde alınıyor. $\left |\overrightarrow{OM}\right |$  ile $\overrightarrow{OM}$ vekötürünün uzunluğu gösterilmek üzere; $n$ tek ise, $$\left | \overrightarrow{OP_1} + \overrightarrow{OP_2} + \dots + \overrightarrow{OP_n} \right | \geq 1$$ olduğunu kanıtlayınız.

$M$; uzayda, hepsi birden aynı düzlemde yer almayan sonlu noktalar kümesi olsun. $M$ kümesindeki herhangi iki $A$ ve $B$ noktası için, $AB$ ile $CD$ paralel olacak; ama çakışık olmayacak şekilde $M$ kümesinden $C$ ve $D$ noktaları seçilebiliyorsa, bu şekilde bir $M$ kümesinin bulunup bulunmadığını belirleyiniz.

$a$ ve $b$ gerçel sayıları olmak üzere; $$x^4+ax^3+bx^2+ax+1 = 0$$ denkleminin en az bir gerçel çözümü olsun. Bu şekildeki tüm $(a,b)$ sayı çifti için, $a^2+b^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değeri belirleyiniz.

Bir asker, eşkenar üçgen şeklindeki bir bölgede mayın taraması yapıyor. Kullandığı mayın tarayıcı, eşkenar üçgenin yüksekliğinin yarısı kadar bir yarıçaplı bir dairenin içerisini tarayabiliyor. Asker üçgenin köşelerinden birinden başlayarak tüm bölgeyi taramak amacıyla yola koyuluyor. Askerin görevini  en kısa mesafede tamamlayabileceği yolu bulunuz.

$G$; gerçel $x$ değişkeninin $$f(x) = ax+b, a \text{ ve } b \text{ gerçel sayılar}$$ biçimindeki sabit olmayan fonksiyonlarının kümesi olup, aşağıdaki özellikleri taşımaktadır:

• $f$ ve $g$ fonksiyonları $G$ de ise, $g \circ f$ fonksiyonu da $G$ dedir. (Burada $(g \circ f)(x) = g\left[f(x)\right]$ oluyor.)
• $f$, $G$ de ise, tersi olan $f^{-1}$ de $G$ dedir. (Burada $f(x)=ax+b$ nin tersi $f^{-1}(x) = (x-b)/a$ oluyor.)
• $G$ deki her $f$ için, $f(x_f) = x_f$ olacak şekilde $x_f$ gerçel sayısı vardır.

$G$ deki her $f$ için $f(k)=k$ olacak şekilde bir $k$ gerçel sayısının var olduğunu gösteriniz.

$a_1,a_2,\dots, a_n$ pozitif sayılar, $q$ da $0<q<1$ eşitsizliğini sağlayan bir gerçel sayı olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan $b_1,b_2,\dots, b_n$ sayılarını bulunuz:

• $k=1,2,\dots, n$ için $a_k < b_k$,
• $k=1,2,\dots, n-1$ için $q < \frac {b_{k+1}}{b_k} < \frac 1q$,
• $b_1+b_2+\dots b_n < \frac {1+q}{1-q}(a_1 + a_2 + \dots + a_n)$.