Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1972 Çözümleri
1
Onluk sistemde, iki basamaklı on farklı sayıdan oluşan bir kümeden, elemanları toplamları aynı olan iki ayrık altküme seçilebileceğini gösteriniz.
2
$n\geq 4$ olmak üzere; her kirişler dörtgeninin her biri kirişler dörtgeni olan $n$ dörtgene ayrılabileceğini kanıtlayınız.
3
Negatif olmayan her $m$ ve $n$ tam sayıları için,
$$\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$$ kesrinin bir tam sayıya eşit olduğunu gösteriniz. ($0!=1$.)
Çözüm:
$[$ $]$ sembolü tam kısım sembolü olmak üzere
Her $x,y$ reel sayıları için $[2x]+[2y] \ge [\text{x}]+[y]+[x+y]$ olduğunu gösterelim.
$x=[\text{x}]+r$ , $y=[y]+s$ , $0\le r,s \le 1$ olacak şekilde $r,s\in R$ sayıları vardır. $[\text{x}]=a$ ,$[y]=b$ alalım.
$$[2x]+[2y]=2a+2b+[2r]+[2s]$$
$$[x+y]=a+b+[r+s]$$
üstteki iki özellik ispatı istenen eşitsizliğe yazılırsa $[2r]+[2s]\ge [\text{r}]+[\text{s}]+[r+s]$ olduğunu göstermek gerekir. $[\text{r}]=0$ ve $[\text{s}]=0$ olduğunu kullarak ve genelliği bozmadan $r\le s$ alırsak $ [\text{r}]+[\text{s}]+[r+s]=[r+s]\le [s+s]=[2s]\le [2r]+[2s]$ olduğundan ispat biter.
bizden istenen sayı varsayalım ki tam sayı olsun. O halde en az bir asal böleni vardır. Asal bölenleri sayısına $k$ deresek asal bölenleri $1\le i \le k$ , $p_i$ olarak düşünülebilinir.
O halde bu asal sayının paydaki en büyük kuvveti $e$ paydadaki en büyük kuvveti $f$ olsun. O halde sayının çarpanlarından biri $p_i^{e-f}$ olur.
$${\overset{}{\underset{k\ge 1}{{\displaystyle\sum}}}([\dfrac{2m}{p_i^k}]+[\dfrac{2n}{p_i^k}]-[\dfrac{m}{p_i^k}]-[\dfrac{n}{p^k}])}$$ bu ifadeye verdiğimiz eşitsizliği uygularsak $e-f\ge 0$ elde edilir. Burada $p_i$ nin kuvveti hiçbir zaman negatif olmayacağından dolayı ispat tamamlanır.
4
$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere; $$\begin{array}{rcl}
(x_1^2 - x_3x_5)(x_2^2 - x_3x_5) &\leq& 0 \\
(x_2^2 - x_4x_1)(x_3^2 - x_4x_1) &\leq& 0 \\
(x_3^2 - x_5x_2)(x_4^2 - x_5x_2) &\leq& 0 \\
(x_4^2 - x_1x_3)(x_5^2 - x_1x_3) &\leq& 0 \\
(x_5^2 - x_2x_4)(x_1^2 - x_2x_4) &\leq& 0
\end{array}$$ eşitsizlik sisteminin sağlayan tüm $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ beşlilerini bulunuz.
5
Tüm $x,y$ gerçel sayıları için tanımlı gerçel değerli $f$ ve $g$ fonksiyonları, her $x,y$ için $$f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)g(y)$$ eşitliğini sağlamaktadır. $f(x)$ tamamiyle sıfır değilse ve her $x$ için $|f(x)| \leq 1$ ise, her $y$ için $|g(y)| \leq 1$ olduğunu gösteriniz.
6
Dört farklı paralel düzlem veriliyor. Her bir düzlem üzerinde bir köşesi bulunan düzgün bir dörtyüzlünün var olduğunu kanıtlayınız.