Onluk sistemde, iki basamaklı on farklı sayıdan oluşan bir kümeden, elemanları toplamları aynı olan iki ayrık altküme seçilebileceğini gösteriniz.

$n\geq 4$ olmak üzere; her kirişler dörtgeninin her biri kirişler dörtgeni olan $n$ dörtgene ayrılabileceğini kanıtlayınız.

Negatif olmayan her $m$ ve $n$ tam sayıları için,
$$\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$$ kesrinin bir tam sayıya eşit olduğunu gösteriniz. ($0!=1$.)

$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere; $$\begin{array}{rcl}
(x_1^2 - x_3x_5)(x_2^2 - x_3x_5) &\leq& 0 \\
(x_2^2 - x_4x_1)(x_3^2 - x_4x_1) &\leq& 0 \\
(x_3^2 - x_5x_2)(x_4^2 - x_5x_2) &\leq& 0 \\
(x_4^2 - x_1x_3)(x_5^2 - x_1x_3) &\leq& 0 \\
(x_5^2 - x_2x_4)(x_1^2 - x_2x_4) &\leq& 0
\end{array}$$ eşitsizlik sisteminin sağlayan tüm $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ beşlilerini bulunuz.

Tüm $x,y$ gerçel sayıları için tanımlı gerçel değerli $f$ ve $g$ fonksiyonları, her $x,y$ için $$f(x+y)+f(x-y) = 2f(x)g(y)$$ eşitliğini sağlamaktadır. $f(x)$ tamamiyle sıfır değilse ve her $x$ için $|f(x)| \leq 1$ ise, her $y$ için $|g(y)| \leq 1$ olduğunu gösteriniz.

Dört farklı paralel düzlem veriliyor. Her bir düzlem üzerinde bir köşesi bulunan düzgün bir dörtyüzlünün var olduğunu kanıtlayınız.