Aşağıdaki iddianın $n=3$ ve $n=5$ için doğru, bunun haricinde her $n>2$ doğal sayısı için yanlış olduğunu gösteriniz.

Her $a_1,a_2,\dots, a_n$ gerçel sayıları için, $$(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n) + \cdots + (a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1}) \geq 0$$ eşitsizliği sağlanır.

Köşeleri $A_1, A_2, \dots, A_9$ olan bir $P_1$ çokyüzlüsünü ele alalım. $i=2,3,\dots, 9$ olmak üzere; $P_i$ ile, $P_1$ çokyüzlüsünün $A_1$ den $A_2$ ye ötelenmesi ile elde edilen çokyüzlüyü gösterelim. $P_1,P_2, \dots, P_9$ çokyüzlülerinden en az ikisinin ortak bir iç noktaya sahip olduğunu kanıtlayınız.

$2^k-3$ $(k=2,3,\dots)$ biçimdeki tam sayılar kümesinin herhangi iki elemanı aralarında asal olan sonsuz elemanlı bir alt kümesinin olduğunu gösteriniz.

$ABCD$ dörtyüzlüsünün yüzlerinden her biri dar açılı üçgendir. $X$, $AB$ kenarı üzerinde $A$ ve $B$ den farklı bir noktadır. Benzer şekilde $Y$, $Z$, $T$ sırasıyla $BC$, $CD$, $DA$ kenarlarının iç noktalarıdır. Tüm $XYZTX$ kapalı çokgensel yollarını ele alalım.

• $\angle DAB + \angle BCD \neq \angle CDA + \angle ABC$ ise, çokgensel yollar arasından en kısa yola sahip olanın bulunmadığını gösteriniz.
  
• $\angle DAB + \angle BCD \neq \angle CDA + \angle ABC$ ise, sonsuz çoklukta en kısa çokgensel yol olduğunu, $\alpha = \angle BAC + \angle CAD + \angle DAB$ olmak üzere; bu en kısa yolun uzunluğunun da $2\cdot AC\cdot \sin(\alpha /2)$ olduğunu gösteriniz.

Her $m$ doğal sayısı için, düzlemde şu özelliği sağlayan bir $S$ noktalar kümesinin var olduğunu gösteriniz: $S$ deki her $A$ noktası için, $S$ de, $A$ dan birim uzaklıkta olan tam olarak $m$ nokta vardır.

$i,j = 1,2\dots, n$ olmak üzere; $A=(a_{ij})$ elemanları negatif olmayan tam sayılar olan bir kare matris olsun. Herhangi bir eleman $a_{ij}=0$ olduğunda $i$-inci satır ile $j$-inci sütundaki elemanların toplamının $\geq n$ olduğunu biliyoruz. Matristeki tüm elemanların toplamının $\geq n^2/2$ olduğunu gösteriniz.