Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1989 Çözümleri
« 1988 1990 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1989 Çözümleri

1
$\{1,2,\dots, 1989\}$ kümesinin aşağıdaki özelliklere uyan, ikişer ayrık $A_i$ ($i=1,2,\dots, 117$) altkümelerinin birleşimi olarak yazılabildiğini ispatlayınız.
2
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısının iç açıortayı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile $A_1$ noktasında kesişmektedir. $B_1$ ve $C_1$ noktaları da benzer şekilde tanımlanıyor. $B$ ve $C$ açılarının dış açıortaylarının $AA_1$ doğrusu ile kesişme noktası $A_0$ olsun. $B_0$ ve $C_0$ noktaları da benzer şekilde tanımlansın. Aşağıdakileri ispatlayınız:
Çözüm:
$ABC$ üçgeninde $A_0, B_0, C_0$ dış teğet çember merkezleridir. $ABC$ nin iç merkezi $I$ olsun.
  • $\angle BIA_1 = \angle ABI + \angle BAI = \angle IBC + \angle CBA_1 = \angle IBA_1 \Rightarrow IA_1 = A_1B$
    $IB$ iç açıortay, $A_0B$ de dış açıortay olduğu için $\angle IBA_0 = 90^\circ$ ve $BA_1 = A_1I=A_0A_1$. Dolayısıyla da, $[A_1BI] = [A_0A_1B]$.
    Benzer şekilde, $[A_0A_1C] = [IA_1C]$, $[B_0B_1C] = [IB_1C]$, $[B_0B_1A] = [IB_1A]$, $[C_0C_1A] = [IC_1A]$, $[C_0C_1B] = [IC_1B]$ olduğu için $2\cdot [AC_1BA_1CB_1] = [A_0B_0C_0]$

  • $[A_0A]$, $[B_0B]$, $[C_0C]$; $\triangle A_0B_0C_0$ ın yükseklikleridir. $C_0BCB_0$ dörtgeni $\angle C_0BB_0 = \angle C_0CB_0$ olduğu için kirişler dörtgenidir. Yani, $\angle BCA_0 = \angle B_0C_0A_0$. Bu durumda, $\triangle CBA_0 \sim \triangle C_0B_0A_0$ dır. Benzerlik oranı, $\dfrac{BC}{B_0C_0} = \dfrac{A_0B}{A_0B_0} = \cos \angle A_0$ dır. Benzer şekilde, $AC = A_0C_0 \cdot \cos \angle B_0$ ve $AB = A_0B_0 \cdot \cos \angle C_0$.
    $\angle C_0A_0B_0=\angle BAC_0 = \angle CAB_0$ ve $\angle BAC = 180^\circ - 2\cdot \angle A_0$ olduğu için $$\begin{array}{rcl}
    [ABC] &=& \dfrac 12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC \\
    &=& \dfrac 12 \cdot A_0B_0 \cdot \cos \angle C_0 \cdot A_0C_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \sin (180^\circ - 2 \cdot \angle A_0) \\
    &=& \dfrac 12 \cdot A_0B_0 \cdot A_0C_0 \cdot \sin (2\cdot \angle A_0) \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0 \\
    &=& [A_0B_0C_0] \cdot 2 \cdot \cos \angle A_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0
    \end{array}$$
    İddia: $\angle A_0 + \angle B_0 + \angle C_0 = 180^\circ \Rightarrow \cos \angle A_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0 \leq \dfrac 18$.

    İspat:
    $$\begin{array}{rcl}
    \cos \angle A_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0 &=& \dfrac 12 \left (\cos (\angle A_0 - \angle B_0) + \cos (\angle A_0 + \angle B_0) \right) \cdot \cos \angle C_0 \\
    &=& \dfrac 12 \left( \cos (\angle A_0 - \angle B_0) - \cos \angle C_0 \right) \cdot \cos \angle C_0
    \end{array}$$

    Diğer taraftan, $AO \geq GO$ dan $$4\cdot \cos (\angle A_0 - \angle C_0) \cdot \cos \angle C_0 \leq \cos^2 (\angle A_0 - \angle C_0) + 4 \cdot \cos^2 \angle C_0$$ $$ 4 \cdot \left ( \cos (\angle A_0 - \angle B_0) - \cos \angle C_0 \right) \cdot \cos \angle C_0 \leq \cos^2 (\angle A_0 - \angle C_0) \leq 1$$ $$8 \cdot \cos \angle A_0 \cdot \cos \angle B_0 \cdot \cos \angle C_0  \leq 1. \blacksquare$$
    Bu durumda, $4 \cdot [ABC] \leq [A_0B_0C_0]$.

3
$n$ ve $k$ pozitif tam sayılar olsun. $S$ bir düzlem üzerinde bulunan ve aşağıdaki iki koşula uyan $n$ tane noktanın oluşturduğu küme olsun.
Bu koşullar altında $$k < \dfrac 12 + \sqrt {2n}$$ olduğunu ispatlayınız.
4
$ABCD$ bir konveks dörtgen olsun ve $|AB|$, $|AD|$, $|BC|$ kenar uzunlukları $$|AB|=|AD|+|BC|$$ koşulunu sağlasın. Bu dörtgenin içinde aşağıdaki özelliklere uyan bir $P$ noktası vardır.
Bu takdirde $$\dfrac 1{\sqrt h} \geq \dfrac 1{\sqrt {AD}} + \dfrac 1{\sqrt {BC}}$$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
Merkezleri $A$ ve $B$ olan ve birbirlerine $M$ noktasında dıştan teğet olan iki çemberin ortak teğeti $A$ merkezli çembere $D'$, $B$ merkezli çembere $C'$ noktasında değsin. $C'M$ küçük yayı üzerinde bir $C$ noktası, $D'M$ küçük yayı üzerinde bir $D$ noktası alalım. Söz konusu $ABCD$ dörtgeni soruda verilen dörtgenle aynı. İki çembere ve $CD$ ye teğet olan çemberin merkezi $P$, yarıçapı $h$ dir. Bu çember $CD$ ye $E$ noktasında değsin. Bu çember en büyüyük yarıçapını $D=D'$ ve $C=C'$ iken alır. Bu durumda, söz konusu $P=P'$ ve $E=E'$ olsun.

$ABCD$ dik yamuğunda, $(AM+BM)^2 - (AD'-BC')^2 = D'C'^2 \Rightarrow D'C' = 2\sqrt {AD \cdot BC}$.

$AP'E'D'$ dik yamuğunda, $E'D' = 2\sqrt {AD' \cdot P'E'} = 2\sqrt {AD \cdot h'}$.

$BP'E'C'$ dik yamuğunda, $E'C' = 2\sqrt {BC' \cdot P'E'} = 2\sqrt {BC \cdot h'}$.

$D'E'+E'C'=D'C' \Rightarrow \sqrt {h'} (\sqrt {AD} + \sqrt {BC}) = \sqrt {AD} \cdot \sqrt {BC}$

$\sqrt {h'} = \dfrac{\sqrt{AD} \cdot \sqrt{BC}}{\sqrt{AD} + \sqrt{BC}} \geq \sqrt {h}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{h}} \geq \dfrac{\sqrt{AD} + \sqrt{BC}}{\sqrt{AD} \cdot \sqrt{BC}} = \dfrac{1}{\sqrt {AD}} + \dfrac{1}{\sqrt{BC}}$
5
Her $n$ pozitif tam sayısı için, her biri bir asal sayının tam kuvveti olmayan, ardışık $n$ tane pozitif tam sayının var olduğunu ispatlayınız.
6
$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $\{1,2,\dots, 2n\}$ kümesinin bir permütasyonu $(x_1,x_2,\dots, x_{2n})$ olsun. Eğer bu permütasyonda en az bir $i\in \{1,2,\dots , 2n-1\}$ için $|x_i - x_{i+1}| = n$ koşulu sağlanıyorsa, permütasyona $P$ özelliğine sahiptir diyelim.
Her $n$ için, $P$ özelliğine sahip olan permütasyonların sayısının, $P$ özelliğine sahip olmayanlardan daha fazla olduğunu gösteriniz.