$\{1,2,\dots, 1989\}$ kümesinin aşağıdaki özelliklere uyan, ikişer ayrık $A_i$ ($i=1,2,\dots, 117$) altkümelerinin birleşimi olarak yazılabildiğini ispatlayınız.

• Her bir $A_i$ kümesinde $17$ tane eleman bulunsun,
• $A_i$ kümelerinin her birindeki elemanlarının toplamı aynı olsun.

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde, $A$ açısının iç açıortayı $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile $A_1$ noktasında kesişmektedir. $B_1$ ve $C_1$ noktaları da benzer şekilde tanımlanıyor. $B$ ve $C$ açılarının dış açıortaylarının $AA_1$ doğrusu ile kesişme noktası $A_0$ olsun. $B_0$ ve $C_0$ noktaları da benzer şekilde tanımlansın. Aşağıdakileri ispatlayınız:

• $A_0B_0C_0$ üçgeninin alanı, $AC_1BA_1CB_1$ altıgeninin alanının iki katına eşittir.
  
• $A_0B_0C_0$ üçgeninin alanı, $ABC$ üçgeninin alanının en az dört katıdır.

$n$ ve $k$ pozitif tam sayılar olsun. $S$ bir düzlem üzerinde bulunan ve aşağıdaki iki koşula uyan $n$ tane noktanın oluşturduğu küme olsun.

• $S$'deki herhangi üç nokta aynı doğru üzerinde değildir,
• $S$'nin her bir $P$ noktası için, bu $P$ noktasına olan uzaklıkları aynı olan ve $S$'de bulunan en az $k$ tane nokta vardır.

Bu koşullar altında $$k < \dfrac 12 + \sqrt {2n}$$ olduğunu ispatlayınız.

$ABCD$ bir konveks dörtgen olsun ve $|AB|$, $|AD|$, $|BC|$ kenar uzunlukları $$|AB|=|AD|+|BC|$$ koşulunu sağlasın. Bu dörtgenin içinde aşağıdaki özelliklere uyan bir $P$ noktası vardır.

• $P$ noktasının $CD$ kenarına olan uzaklığı $h$ kadardır.
• $|AP|=h+|AD|$ ve $|BP| = h + |BC|$'dir.

Bu takdirde $$\dfrac 1{\sqrt h} \geq \dfrac 1{\sqrt {AD}} + \dfrac 1{\sqrt {BC}}$$ olduğunu gösteriniz.

Her $n$ pozitif tam sayısı için, her biri bir asal sayının tam kuvveti olmayan, ardışık $n$ tane pozitif tam sayının var olduğunu ispatlayınız.

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $\{1,2,\dots, 2n\}$ kümesinin bir permütasyonu $(x_1,x_2,\dots, x_{2n})$ olsun. Eğer bu permütasyonda en az bir $i\in \{1,2,\dots , 2n-1\}$ için $|x_i - x_{i+1}| = n$ koşulu sağlanıyorsa, permütasyona $P$ özelliğine sahiptir diyelim.
Her $n$ için, $P$ özelliğine sahip olan permütasyonların sayısının, $P$ özelliğine sahip olmayanlardan daha fazla olduğunu gösteriniz.