Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1988

Aynı düzlemde bulunan ve merkezleri aynı olan $R$ ve $r$ ($R>r$) yarıçaplı iki çember veriliyor. $P$ küçük çember üzerinde sabit bir nokta ve $B$ büyük çember üzerinde değişken bir nokta olsun. $BP$ doğrusu büyük çemberi $C$ noktasında kesiyor. $BP$'ye $P$ noktasında dik olan $l$ doğrusu küçük çemberi $A$ noktasında kesiyor. (Eğer $l$, $P$ noktasında çembere teğet ise $A=P$ dir.)

• $BC^2+CA^2+AB^2$ ifadesinin aldığı değerlerin kümesini bulunuz.
• $AB$'nin orta noktasının geometrik yerini bulunuz.

$n$ bir pozitif tam sayı ve $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ bir $B$ kümesinin alt kümeleri olsun. Aşağıdaki koşulların sağlandığını varsayalım:

• Her bir $A_i$'nin tam $2n$ tane elemanı vardır.
• Her bir $A_i<A_j$ ($1\leq i < j \leq 2n+1 $) yalnızca bir tek eleman içerir.
• $B$'nin her bir elemanı en az iki tane $A_i$'de vardır.

$B$'nin her bir elemanını $0$ veya $1$ ile göstermek istiyoruz. Böyle bir gösterilimin, $A_i$'lerin her birinin tam $n$ tane $0$ içerecek şekilde yapılabilmesi için $n$'nin değeri ne olmalıdır?

Bir $f$ fonksiyonu pozitif tam sayılar kümesinden, pozitif tam sayılar kümesine, her $n$ pozitif tam sayısı için aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:
$$\begin{array}{rcl}
f(1) &=& 1, \quad f(3) = 3 \\
f(2n) &=& f(n) \\
f(4n+1) &=& 2f(2n+1)-f(n) \\
f(4n+3) &=& 3f(2n+1)-2f(n). \\
\end{array}$$
$f(n)=n$ koşuluna uyan ve $1988$'den küçük ya da $1988$'e eşit olan $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

$$\sum\limits_{k=1}^{70}\dfrac k{x-k} \geq \dfrac 54$$ eşitsizliğini sağlayan $x$ reel sayılarının kümesinin, uzunluları toplamı $1988$ olan ayrık aralıkların birleşimi olduğunu gösteriniz.

$ABC$, dik açısı $A$ köşesinde olan bir dik üçgen ve $D$, $A$'dan çizilen yüksekliğin ayağı olsun. $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinin iç çemberlerinin merkezlerinin birleştiren doğru $AB$ ve $AC$ kenarlarını sırasıyla $K$ ve $L$ noktalarında kesmektedir. $S$ ve $T$ sırasıyla $ABC$ ve $AKL$ üçgenlerinin alanları ise, $S\geq 2T$ olduğunu gösteriniz.

$a$ ve $b$ pozitif tam sayıları, $ab+1$ sayısı $a^2+b^2$'yi tam olarak bölecek şekilde seçilsin. $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ ifadesinin, bir pozitif tam sayının karesi olduğunu gösteriniz.