Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1987

$\{1,2, \dots, n\}$ $(n\geq 1)$ kümesinin sabit noktalarının sayısı tam olarak $k$'ya eşit olan permütasyonlarının sayısı $p_n(k)$ olsun. $$\sum\limits_{k=0}^n k\cdot p_n(k) = n!$$ olduğunu gösteriniz.
(Not: Bir $S\neq \emptyset$ kümesinden kendi üzerine tanımlı ve bire-bir olan bir $f$ fonksiyonuna $S$'nin bir permütasyonu denir. $S$'nin bir $i$ elemanı için $f(i)=i$ ise $i$ $f$'nin bir sabit noktasıdır denir.)

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $A$ açısının açıortayı $BC$ kenarını $L$'de ve daha sonra $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini $N$'de kesmektedir. $L$ noktasından $AB$ ve $AC$ kenarlarına çizilen dik doğrular $AB$ kenarını $K$'da ve $AC$ kenarını $M$'de kesmektedir. $AKNM$ dörtgeninin alanının $ABC$ üçgeninin alanına eşit olduğunu gösteriniz.

$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 = 1$ olan $x_1,x_2, \dots, x_n$ gerçek sayıları veriliyor. Her $k\geq 2$ tam sayısı için hepsi birden sıfır olmayan öyle $a_1, a_2, \dots, a_n$ tam sayılarının varlığını gösteriniz ki her $i=1,2,\dots, n$ için $|a_i| \leq k-1$ ve $$|a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n| \leq \dfrac{(k-1)\sqrt n}{k^n-1}$$ olsun.

Negatif olmayan tam sayılar kümesinden kendi içine tanımlı ve her $n$ için $f\left(f(n)\right) = n + 1987$ şartını sağlayan bir $f$ fonksiyonunun olmadığını ispat ediniz.

Öklid düzleminde (iki boyutlu koordinat düzlemi) her $n\geq 3$ için $n$ noktadan oluşan öyle bir küme bulunuz ki herhangi iki nokta arasındaki uzaklık irrasyonel olsun ve her üç nokta dejenere olmayan ve alanı bir rasyonel sayıya eşit olan bir üçgen belirlesin.

$n\geq 2$ bir tam sayı olsun. Eğer $0\leq k \leq \sqrt {n/3}$ şartını sağlayan her $k$ tam sayısı için $k^2+k+n$ bir asal tam sayı ise $k=0,1,\dots, n-2$ için $k^2+k+n$ sayılarının hepsinin asal olduğunu ispat ediniz.