Geomania.Org Forumları

$d$; $2,5$ veya $3$ sayılarına eşit olmayan herhangi bir pozitif tam sayı olsun. $\{2,5,13,d\}$ kümesinde, $ab-1$ bir tam kare olmayacak şekilde farklı $a,b$ sayılarının bulunabileceğini gösteriniz.

$A_1A_2A_3$ üçgeni ile aynı düzlemde bir $P_0$ noktası veriliyor. Her $s\geq 4$ için $A_s = A_{s-3}$ tanımlanıyor. ($k=0,1,2,\dots$ için) $P_{k+1}$, $P_k$ nın saat yönünde $A_{k+1}$ merkezli $120^\circ$ döndürülmesi ile elde edilen görüntüsü olmak üzere; $P_1,P_2,P_3,\dots$ noktalar kümesini oluşturuyoruz. $P_{1986} = P_0$ ise, $A_1A_2A_3$ üçgeninin eşkenar olduğunu kanıtlayınız.

Düzgün bir beşgenin her köşesine, bu beş sayının toplamı pozitif olacak şekilde tam sayılar veriliyor. Üç ardışık köşeye $y<0$ olmak üzere, sırasıyla $x,y,z$ sayıları verilmiş ise, $x,y,z$ sayılarının sırasıyla $x+y$, $-y$, $z+y$ sayıları ile değiştirimesine izin veriliyor. Bu işlem, beş sayıdan en az biri negatif oluncaya kadar tekrarlanıyor. Bu işlemin sonlu sayıda adım sonunda sonlanıp sonlanmayacağını belirleyiniz.

$A$ ve $B$, düzlemde, $O$ merkezli düzgün bir $n$-genin ($n\geq 5$) iki ardışık köşesi olsun. $OAB$ üçgenine eş $XYZ$ üçgeni; başlangıçta $OAB$ üçgeni ile çakışık olup, $Y$ ile $Z$ çokgenin kenarları üzerinde, $X$ de çokgenin iç bölgesinde yer alacak şekilde düzlemde hareket ediyor. $X$ in geometrik yerini bulunuz.

Negatif olmayan gerçel sayılarda tanımlı, negatif olmayan gerçel değerler alan ve

• her $x,y \geq 0$ için $f\left(xf(y)\right)f(y)$,
• $f(2) = 0$,
• $0\leq x < 2$ için $f(x) \neq 0$

koşullarını sağlayan tüm $f$ fonksiyonlarını bulunuz.

Düzlemde her biri tam sayı koordinatlı bir noktalar kümesi veriliyor.  Kümedeki noktalardan bazılarını kırmızıya geri kalanlarını da beyaza; koordinat eksenlerinden birine paralel herhangi bir düz $L$ doğrusu için $L$ üzerindeki beyaz ve kırmızı noktaların sayılarının farkı (mutlak değerce) $1$ den büyük olmayacak şekilde boyamak her zaman mümkün  müdür?