Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1985 Çözümleri
« 1984 1986 »
« Sorulara Git
Geri

Uluslararası Matematik Olimpiyatı - 1985 Çözümleri

1
Merkezi, $ABCD$ kirişler dörtgeninin $AB$ kenarı üzerinde bulunan çembere, dörtgenin diğer kenarları teğettir. $AD+BC=AB$ olduğunu gösteriniz.
Çözüm 1:
Çember $BC$ ye $P$ de, $AD$ ye $Q$ da dokunsun. Çemberin merkezi $M$ olsun.
$\angle BAD = 2\alpha$ dersek, $\angle DCB = 180^\circ - 2\alpha \Rightarrow \angle MCP = 90^\circ - \alpha$ olur.
$[QD$ üzerinde $PC=QS$ olacak şekilde $S$ noktası alalım. Ayrıca $QM=MP$ ve $\angle SQM=\angle CPM = 90^\circ$ olduğu için $\triangle CPM \cong \triangle SQM$, yani, $\angle QSM = \angle PCM = 90^\circ - \alpha$ olur. Bu durumda, $\triangle ASM$ de $$\angle SMA = 180^\circ - 2\alpha - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ - \alpha = \angle ASM$$ olduğu için $AM=AS=AQ+CP$ elde edilir.
Benzer şekilde, $BM=BP+QD$ olacağı için, taraf tarafta topladığımızda $AB=AM+MB=AQ+CP+BP+QD=AD+BC$ olacaktır.
Çözüm 2:
Çemberin merkezi $M$ olsun.
$[AB]$ üzerinde $AD=AN$ olacak şekilde $N$ noktası alalım.
$\angle BAD =2\alpha$ dersek, $\angle DCM = \angle MCB = 90^\circ - \alpha$ ve $\angle ADN =\angle AND =90^\circ-\alpha$, dolayısıyla $D,C,M,N$ çemberseldir. Buradan da $\angle CNB =\angle CDM = 90^\circ  - \dfrac{\angle CBA}2$ yani  $BC=NB$ elde edilir. Bu durumda $AB = AN+NB=AD+BC$ olur.
2
$n$ ve $k$ sayıları $k<n$ eşitsizliğini sağlayan aralarında asal iki doğal sayı olsun. $M=\{1,2,\dots n-1\}$ kümesindeki her sayı ya maviye ya da beyaza boyanıyor.
olduğu bilgisi veriliyor. $M$ deki tüm sayıların aynı renkte olması gerektiğini kanıtlayınız.
3
Tam sayı katsayılı herhangi bir $P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_kx^k$ polinomu için, $w(P)$ ile tek katsayıların sayısını gösterelim. $i=0,1,\dots$ için, $Q_i(x)=(1+x)^i$ olsun. $i_1,i_2,\dots, i_n$, $0\leq i_1 < i_2 < \dots < i_n$ şeklinde tam sayılarsa; $$w(Q_{i_1} + Q_{i_2}+ \dots + Q_{i_n}) \geq w(Q_{i_1})$$ olduğunu kanıtlayınız.
4
Hiçbirinin $26$ dan büyük bir asal çarpanı olmadığı $1985$ farklı pozitif tam sayıdan oluşan bir $M$ kümesi veriliyor. $M$ nin elemanları çarpımı bir tam sayının dördüncü kuvveti olan dört elemanlı en az bir alt kümesinin bulunduğunu kanıtlayınız.
5
$ABC$ üçgeninin $A$ ve $C$ köşelerinden geçen $O$ merkezli çember $AB$ ve $BC$ doğru parçalarını tekrardan, sırasıyla farklı $K$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $ABC$ ve $KBN$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $B$ ve $M$ gibi iki farklı noktada kesişiyor. $OMB$ açısının dik açı olduğunu kanıtlayınız.
Çözüm:
$\angle BAC = \alpha$ olsun.

$O$, $(AKC)$ çemberinin merkezi olduğundan $\angle KOC = 2\alpha$; $AKNC$ kirişler dörtgeni olduğundan $\angle KNB = \angle KAC = \alpha$.

$B,K,N,M$ çembersel olduğundan $\angle KNB = \angle KMB = \alpha$; $A,B,M,C$ çembersel olduğundan $\angle BMC = 180^\circ - \alpha$.

$\angle KMC = 180^\circ-2\alpha$ ve $\angle KOC = 2\alpha$ olduğu için $K$, $M$, $C$, $O$ çembersel ve $KO=OC$ olduğu için de $\angle KMO = \angle OMC = 90^\circ - \alpha$. Bu durumda $\angle OMB = 90^\circ$ dir.
6
Her $x_1$ gerçel sayısı için, $x_1,x_2,\dots$ dizisini $$ \text{her } n\geq 1 \text{ için}, x_{n+1} = x_n\left(x_n +\dfrac 1n \right)$$ olacak şekilde oluşturalım. Her $n$ için $$0<x_n<x_{n+1}<1$$ olacak şekilde tek bir $x_1$ değerinin olduğunu kanıtlayınız.