Merkezi, $ABCD$ kirişler dörtgeninin $AB$ kenarı üzerinde bulunan çembere, dörtgenin diğer kenarları teğettir. $AD+BC=AB$ olduğunu gösteriniz.

$n$ ve $k$ sayıları $k<n$ eşitsizliğini sağlayan aralarında asal iki doğal sayı olsun. $M=\{1,2,\dots n-1\}$ kümesindeki her sayı ya maviye ya da beyaza boyanıyor.

• Her $i\in M$ için, $i$ ile $n-i$ aynı renkte;
• her $i\in M$ için, $i \neq k$ olmak üzere, $i$ ile $|i-k|$ aynı rekte

olduğu bilgisi veriliyor. $M$ deki tüm sayıların aynı renkte olması gerektiğini kanıtlayınız.

Tam sayı katsayılı herhangi bir $P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_kx^k$ polinomu için, $w(P)$ ile tek katsayıların sayısını gösterelim. $i=0,1,\dots$ için, $Q_i(x)=(1+x)^i$ olsun. $i_1,i_2,\dots, i_n$, $0\leq i_1 < i_2 < \dots < i_n$ şeklinde tam sayılarsa; $$w(Q_{i_1} + Q_{i_2}+ \dots + Q_{i_n}) \geq w(Q_{i_1})$$ olduğunu kanıtlayınız.

Hiçbirinin $26$ dan büyük bir asal çarpanı olmadığı $1985$ farklı pozitif tam sayıdan oluşan bir $M$ kümesi veriliyor. $M$ nin elemanları çarpımı bir tam sayının dördüncü kuvveti olan dört elemanlı en az bir alt kümesinin bulunduğunu kanıtlayınız.

$ABC$ üçgeninin $A$ ve $C$ köşelerinden geçen $O$ merkezli çember $AB$ ve $BC$ doğru parçalarını tekrardan, sırasıyla farklı $K$ ve $N$ noktalarında kesiyor. $ABC$ ve $KBN$ üçgenlerinin çevrel çemberleri $B$ ve $M$ gibi iki farklı noktada kesişiyor. $OMB$ açısının dik açı olduğunu kanıtlayınız.

Her $x_1$ gerçel sayısı için, $x_1,x_2,\dots$ dizisini $$ \text{her } n\geq 1 \text{ için}, x_{n+1} = x_n\left(x_n +\dfrac 1n \right)$$ olacak şekilde oluşturalım. Her $n$ için $$0<x_n<x_{n+1}<1$$ olacak şekilde tek bir $x_1$ değerinin olduğunu kanıtlayınız.